วิธีการหาสูตรของเทอมใน $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}{(2n+1)!!} $
ฉันสะดุดกับปัญหาการสอบต่อไปนี้
ทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม:
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}{(2n+1)!!} $$
ดังนั้นฉันจึงคิดว่าทุก ๆ ตัวประกอบวินาทีของตัวเศษจะตัดกันทุกตัวประกอบในตัวส่วนและนั่นจะให้ (จริงไม่จริง) *
$$\sum_{n=1}^\infty4\cdot10\cdot16\cdot22...$$
ในกรณีนี้อาจเห็นได้ชัดว่าอนุกรมแตกต่างกัน แต่ฉันต้องการหาสูตรที่แน่นอนเพื่อที่ฉันจะได้พิสูจน์การลู่เข้าหรือความแตกต่างด้วยเกณฑ์ / การทดสอบที่เหมาะสม และหลังจากใช้เวลา 10 นาทีในการพยายามคิดออกฉันก็ได้สูตรต่อไปนี้$\ 2(2+3(n+1))=6n-2$. สิ่งที่ดูเหมือนจะเป็นเรื่องง่ายที่จะค้นพบในกรณีนี้ถ้าฉันสังเกตเห็นว่าตัวเลขเหล่านั้นเป็นทวีคูณของ 6 - 2
คำถามของฉันคือมีวิธีที่ทราบกันดีในการหาสูตรเหล่านี้จากผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุดและผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่? หรือกระบวนการที่ได้มาจะง่ายขึ้นด้วยเวลาและการฝึกฝน?
ฉันค่อนข้างใหม่สำหรับทุกสิ่งนี้ขออภัยหากฉันไม่มีคำถามที่ชัดเจน
* ตามที่ @ alex.jordan ระบุไว้ในความคิดเห็นฉันทำผิดพลาดที่นั่นและการยกเลิกจะไม่เกิดขึ้นตามที่ฉันอธิบายไว้ อย่างไรก็ตามมันไม่ได้ส่งผลกระทบต่อสาระสำคัญของคำถามดังนั้นตอนนี้ฉันจะปล่อยมันไว้โดยไม่มีการแก้ไข
คำตอบ
เปลี่ยนชุดความคิดเห็นให้เป็นคำตอบ:
หากไม่พบสูตรปิดของเงื่อนไขอย่างชัดเจนคุณยังสามารถใช้การทดสอบอัตราส่วนได้ คำศัพท์ทั้งหมดเป็นค่าบวกดังนั้นฉันจะละเว้นโดยใช้ค่าสัมบูรณ์ที่อยู่ในรูปแบบทั่วไปของ Ratio Test
$$ \begin{align} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=\frac{\frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3(n+1)+1)}{(2(n+1)+1)!!}}{\frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}{(2n+1)!!}}\\ &=\frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3(n+1)+1)}{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}\cdot\frac{(2n+1)!!}{(2(n+1)+1)!!}\\ &=\frac{\require{cancel}\cancel{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}\cdot(3(n+1)+1)}{\cancel{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}}\cdot\frac{(2n+1)!!}{(2n+3)!!}\\ &=(3n+4)\cdot\frac{(2n+1)!!}{(2n+3)\cdot(2n+1)!!}\\ &=\frac{3n+4}{2n+3} \end{align} $$
นิพจน์นี้ไปที่ $\frac{3}{2}>1$ เช่น $n\to\infty$ดังนั้นโดยการทดสอบอัตราส่วนชุดเดิมจึงแตกต่างกัน
พิจารณา $$a_n=\frac{\prod_{k=0}^n (3k+1) } {(2n+1)!! }\qquad \text{and} \qquad S_p=\sum_{n=1}^p a_n$$ ครั้งแรก $S_p$ง่ายต่อการคำนวณ พวกเขาสร้างลำดับ$$\left\{\frac{4}{3},\frac{16}{5},\frac{88}{15},\frac{1312}{135},\frac{2528}{165},\frac {34912}{1485},\frac{31648}{891},\frac{89504}{1683},\frac{1199776}{15147},\frac{5345248}{45441}\right\}$$ ซึ่งเป็นเลขชี้กำลัง "เกือบ"
แก้ไข
ไม่ช้าก็เร็วคุณจะได้เรียนรู้สิ่งนั้น $$\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n=\, _2F_1\left(1,\frac{4}{3};\frac{3}{2};\frac{3 }{2}x\right)$$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบเกาส์ซึ่งมีแนวโน้มที่จะ $\infty$ เมื่อไหร่ $x\to \frac 23$ จากด้านล่าง.
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{{1\times 4 \times \cdots \times \pars{3n + 1} \over \pars{2n + 1}!!}} = {\prod_{k = 0}^{n}\pars{3k + 1} \over \prod_{k = 0}^{n}\pars{2k + 1}} = {3^{n + 1}\prod_{k = 0}^{n}\pars{k + 1/3} \over 2^{n + 1}\prod_{k = 0}^{n}\pars{k + 1/2}} \\[5mm] = &\ \pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {\pars{1/3}^{\overline{n + 1}} \over \pars{1/2}^{\overline{n + 1}}} = \pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {\Gamma\pars{n + 4/3}/\Gamma\pars{1/3} \over \Gamma\pars{n + 3/2}/\Gamma\pars{1/2}} \\[5mm] = &\ {\root{\pi} \over \Gamma\pars{1/3}}\pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {\pars{n + 1/3}! \over \pars{n + 1/2}!} \\[5mm] \stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, & {\root{\pi} \over \Gamma\pars{1/3}}\pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {\root{2\pi}\pars{n + 1/3}^{\ n + 5/6}\expo{-n - 1/3} \over \root{2\pi}\pars{n + 1/2}^{\ n + 1}\expo{-n - 1/2}} \\[5mm] \stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, &\ {\root{\pi} \over \Gamma\pars{1/3}}\pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {n^{n + 5/6}\,\bracks{1 + \pars{1/3}/n}^{\ n}\,\expo{-n - 1/3} \over n^{n + 1}\,\bracks{1 + \pars{1/2}/n}^{\ n}\,\expo{-n - 1/2}} \\[5mm] \stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, & {\root{\pi} \over \Gamma\pars{1/3}}\, {\pars{3/2}^{n + 1} \over n^{1/6}} \,\,\,\stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\to}\,\,\, \bbx{\large \infty} \\ & \end{align}