วิธีการคำนวณผลคูณของถ้วยของขีด จำกัด ที่ได้รับ / ระบบประสาทวิทยาที่กำหนดไว้ล่วงหน้า
ฉันมีหมวดหมู่ จำกัด $\mathcal{C}$พร้อมด้วย functor $F \colon \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{GradedCommRings}$. ถ้า$F_j$ คือ $j$ชิ้นที่ให้คะแนนของ $F$แล้วฉันก็เขียน $H^i(\mathcal{C},F_j)$ สำหรับ $i$ขีด จำกัด ผกผันที่ได้รับมาของแผนภาพ $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$ของกลุ่มอาเบล เทียบเท่ากับ$i$- cohomology มัดของฟ่อน $F_j$ที่ฉันคำนึงถึง $\mathcal{C}$ เป็นเว็บไซต์ที่มีโทโพโลยี Grothendieck เล็กน้อย
ฉันได้คำนวณต่างๆ $H^i(\mathcal{C},F_j)$. การประกอบควรมีโครงสร้างผลิตภัณฑ์ถ้วย$H^i(\mathcal{C},F_j) \otimes H^{i'}(\mathcal{C},F_{j'}) \to H^{i+i'}(\mathcal{C},F_{j + j'})$. ฉันต้องการคำนวณโครงสร้างผลิตภัณฑ์นี้
วิธีเดียวที่ฉันทราบคือผ่านทาง cohomology แบบมัดซึ่งเกี่ยวข้องกับความละเอียดที่ชัดเจนผลิตภัณฑ์เทนเซอร์และสารประกอบเชิงซ้อนทั้งหมด (ดู [1]) ขออภัยฉันไม่มีความละเอียดที่ชัดเจนของ$F$ หรือ $F \otimes F$: ดูเหมือนจะซับซ้อนเกินไปที่จะทำด้วยมือโดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากไฟล์ $F(c)$โดยทั่วไปจะสร้างขึ้นอย่างไม่สิ้นสุด (ในการคำนวณ$H^i(\mathcal{C},F_j)$ ฉันหลีกเลี่ยงสิ่งนี้โดยใช้ลำดับสเปกตรัม แต่สิ่งเหล่านี้บดบังโครงสร้างผลิตภัณฑ์)
ฉันนำไปสู่คำถามต่อไปนี้:
- ไม่มีใครรู้วิธีที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นในการคำนวณผลิตภัณฑ์ถ้วยของ cohomology ล่วงหน้า / ข้อ จำกัด ที่ได้รับ?
- หากไม่เป็นเช่นนั้นมีซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์ที่สามารถรับช่วงงานบางอย่างที่ระบุไว้ข้างต้นได้หรือไม่?
[1]: RD Swan ผลิตภัณฑ์ถ้วยใน cohomology แบบมัด, หัวฉีดบริสุทธิ์และสารทดแทนสำหรับความละเอียดแบบฉายภาพ
คำตอบ
ผลิตภัณฑ์คัพใน cohomology แบบมัด (และพรีซีฟ) มักคำนวณได้ง่ายโดยการหาแหล่งที่มา (พูดในโครงสร้างแบบจำลองการฉายภาพ) ไม่ใช่เป้าหมาย สำหรับตัวอย่างของการแก้ไขแหล่งที่มาในลักษณะนี้โปรดดูการจับคู่ Yoneda, hypercohomology และผลิตภัณฑ์ถ้วย
ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเราสามารถจัดหมวดหมู่ของโครงสร้างเชิงซ้อนของโซ่ล่วงหน้าบน C ด้วยโครงสร้างแบบจำลองแบบฉายภาพ ส่วนหลังมี functor แทนที่ cofibrant ที่ชัดเจนซึ่งสามารถใช้เพื่อเขียนความละเอียดในการฉายภาพที่ชัดเจนได้ functor ทดแทน cofibrant เป็นโครงสร้างแท่งแบบคลาสสิกที่นำไปใช้กับการต่อระหว่างพรีซีฟของคอมเพล็กซ์โซ่บนคอมเพล็กซ์โซ่ที่มีดัชนี C และ Ob (C)