วิธีการแสดงนั้น $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ ขอบเขตบน?
ฉันพยายามพิสูจน์ว่าลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์แบบเรียกซ้ำ $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ บรรจบกัน $a_1 = 1$.
ฉันจัดการเพื่อพิสูจน์โดยใช้การเหนี่ยวนำว่าลำดับเป็นstricly เพิ่มขึ้น
ฉันกำลังใช้ทฤษฎีบทที่ระบุว่า
หากลำดับมีความซ้ำซากจำเจและมีขอบเขตก็จะมาบรรจบกัน
ดังนั้นตอนนี้ฉันต้องพิสูจน์ว่ามีขอบเขตบน
ความพยายามของฉัน
ฉันจะใช้การเหนี่ยวนำอีกครั้ง
- สำหรับ $n = 1: a_1 = 5 < M\in\mathbb{R}$
- สำหรับ $n = k: a_k < M\in\mathbb{R}$
- สำหรับ $n = k+1: a_{k+1} = \sqrt{12+4a_k} = 2\sqrt{3+a_k} < M \iff a_k < \frac{M^2}{2} -3 < \frac{M^2}{2} < M^2 $
ฉันได้แสดงให้เห็นแล้ว $a_{k+1}$ น้อยกว่านั้น $M^2$ ในขณะที่ในขั้นตอนการเหนี่ยวนำฉันระบุไว้ว่า $a_{k+1}$ น้อยกว่า $M$. รูปสี่เหลี่ยมทำให้ฉันสับสนและฉันไม่แน่ใจว่าฉันพิสูจน์ความผูกพันที่นี่จริงหรือไม่ดังนั้นฉันจึงถามคำถามนี้
คำตอบ
โปรดทราบว่า $a_{k+1}=2 \sqrt{3+a_{k}}<M \iff a_{k}<\frac{M^2}{4}-3$. จากนั้นคุณสามารถทำได้$M=\frac{M^2}{4}-3$ ซึ่งให้แน่นอน $M=6$ เป็นทางออก
วิธีการแก้ไขปัญหาประเภทนี้มักจะเป็นดังนี้
ลองนึกภาพคุณได้พิสูจน์แล้วว่าลำดับมาบรรจบกัน ... $\lim_{n\to\infty}a_n=a\in\mathbb R$. คุณไม่สนใจที่จะค้นหาว่ามีอะไร$a$เหรอ? วิธีการทำคือ: ในสมการ$a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}$ คุณคำนวณขีด จำกัด ของด้านซ้ายและด้านขวาเมื่อ $n\to\infty$. คุณได้รับ:
$$a=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{12+4a_n}=\sqrt{12+\lim_{n\to\infty}a_n}=\sqrt{12+4a}$$
ดังนั้น $a=\sqrt{12+4a}$ ซึ่งหมายความว่า $a=6$.
ดังนั้นสิ่งที่คุณได้พิสูจน์แล้วก็คือถ้า $a_n$ มาบรรจบกันก็ต้องมาบรรจบกัน $6$และไม่มีหมายเลขอื่น ๆ คุณก็รู้ว่ามันมาบรรจบกัน (เพราะคุณจะไม่ถูกขอให้พิสูจน์ถ้ามันไม่ได้!) ดังนั้นเมื่อรู้ว่ามันเพิ่มขึ้นอย่างจำเจคุณจะเห็นทันทีว่า$a_n\lt 6$, ใกล้เข้ามา $6$ "จากด้านล่าง" และจริงๆแล้ว $6=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}$.
ดังนั้นบางทีมันอาจจะคุ้มค่าที่จะพยายามลืมสิ่งที่เราพูดไปทั้งหมดจนถึงจุดนี้และพิสูจน์สิ่งนั้น$a_n\lt 6$ซึ่งจะหมายความทันทีว่าลำดับของคุณเพิ่มขึ้นอย่างจำเจและมีขอบเขต - ดังนั้นการบรรจบกัน
และแน่นอน (พิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำ) $a_1=5\lt 6$ และถ้า $a_n\lt 6$แล้ว $a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}\lt\sqrt{12+4\cdot 6}=6$.
คำแนะนำ: พิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำว่า $a_n \leq 6$ เพื่อทุกสิ่ง $n$.