วิธีคำนวณระยะทางของ $k=0$ โคลงโคลง?
สิ่งนี้อาจเห็นได้จากคำถาม " จะคำนวณระยะทางของรหัสโคลงได้อย่างไร " สรุปคำตอบที่ยอมรับ: ระยะทางคือน้ำหนักขั้นต่ำของชุด$$E = \bigl\{e : e \not \in S, e \in \mathrm{Nor}(P_N,S)/(\pm I) \bigr\}$$ ที่ไหน $S$ คือกลุ่มโคลง (สร้างโดย $K_n$ในคำถามก่อนหน้านี้) และ $\mathrm{Nor}(P_N,S)$ เป็น Normalizer ในกลุ่ม Pauli ของคำสั่งซื้อ $2^{2N+1}$ (ที่ไหน $N$= จำนวน qubits; โดยใช้เวอร์ชันจริงของกลุ่มที่นี่)
คำถามของฉันมีดังต่อไปนี้สิ่งนี้มีไว้สำหรับ $k=0$รหัสโคลง? ฉันสงสัยว่ามันไม่ได้ถือเสมอไป แต่ไม่สามารถหาข้อมูลอ้างอิงได้ ... ดูเหมือนจะใช้ได้กับทุกกรณี แต่ตัวอย่างตัวนับง่ายๆก็หาได้ง่ายเช่นกัน$\tfrac{1}{\sqrt 2}\bigl(\lvert00\rangle + \lvert11\rangle\bigr)$กับ $K_1=X_1X_2$ และ $K_2=Z_1Z_2$. ในกรณีนี้,$\mathrm{Nor}(P,S)=\pm S$ดังนั้นชุด $E$มันว่างเปล่า. เห็นได้ชัดว่ามีบางอย่างเสียในกระบวนการนี้: ฉันคิดว่าระยะทางควรเป็น 2 เกิดอะไรขึ้นที่นี่?
คำตอบ
โปรดทราบว่าในกรณีนี้ $k = 0$, โคลง 'รหัส' คือ $2^0 = 1$มิติย่อยของพื้นที่ฮิลเบิร์ตซึ่งกล่าวได้ว่าประกอบด้วยสถานะโคลงเดียว สิ่งนี้จะมีผลกระทบที่ไม่เหมาะสมกับคุณสมบัติเช่น 'ระยะทาง' ของรหัส
ในท้ายที่สุด "ระยะทางรหัส" จะกำหนดไว้ในรูปของน้ำหนักขั้นต่ำของตัวดำเนินการ Pauli $E$ ซึ่งไม่ 'ตรวจพบได้' (ซึ่งฉันหมายถึงแยกแยะได้จากตัวตน) ตามเงื่อนไขของ Knill – Laflamme: $$ \langle \psi_j \rvert E \lvert \psi_k \rangle = C_E \delta_{j,k} $$ ที่ไหน $\lvert \psi_j \rangle, \lvert \psi_k \rangle$เป็นสถานะในรหัส ในกรณีของสเปซย่อย 1 มิติจะมีสถานะเดียวเท่านั้น$\lvert \psi \rangle =: \lvert \psi_0 \rangle$. ดังนั้นเราจะใช้เวลา$j,k \in \{ 0 \}$เพื่อให้ $\delta_{j,k}$ เทอมจะเท่ากับ $1$. แต่นั่นหมายความว่าเพียงแค่กำหนด$C_E = \langle \psi \rvert E \lvert \psi \rangle$สภาพของ Knill – Laflamme เป็นที่พึงพอใจเสมอ ดังนั้น 'ระยะทาง' ของรหัสจึงถูกกำหนดสำหรับไฟล์$k = 0$ โคลงโคลงเป็นค่าต่ำสุดในชุดว่าง
การใช้แนวทางนามธรรมน้อยกว่าสำหรับรหัสโคลงในการพิจารณาน้ำหนักของตัวดำเนินการ Pauli ซึ่งอยู่ในตัวดำเนินการปกติของรหัสโปรดจำไว้ว่าเรากำลังพูดถึงตัวดำเนินการที่แมปโค้ดสเปซกับตัวมันเอง แต่ไม่ได้สัดส่วนกับ สมาชิกของกลุ่มโคลง แต่สำหรับ$k = 0$ ตัวดำเนินการที่ทำแผนที่รัฐ $\lvert \psi \rangle$สำหรับตัวมันเองนั้นจำเป็นต้องได้สัดส่วนกับตัวปรับเสถียรภาพดังนั้นจึงไม่มีตัวดำเนินการดังกล่าว อีกครั้งเรากำลังพิจารณาน้ำหนักขั้นต่ำของตัวดำเนินการที่ว่างเปล่า
ตามที่การประชุมของคุณก็อาจจะเหมาะสมที่จะพูดคุยเกี่ยวกับระยะทางที่เป็นอนันต์ ; แต่ในทางปฏิบัติมันจะดีกว่าถ้าจะบอกว่าไม่ได้กำหนดระยะทางไว้
ในกระดาษคลาสสิก https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9608006.pdfในหน้า 10 ระยะห่างของไฟล์ $[n,0]$รหัสถูกกำหนดให้เป็นน้ำหนักที่ไม่ใช่ศูนย์ที่เล็กที่สุดของโคลงใด ๆ ในรหัส การตีความทางกายภาพสำหรับคำจำกัดความนี้คือ "An$[[n, 0, d]]$ รหัสเป็นสถานะควอนตัมเช่นนั้นเมื่ออยู่ภายใต้การหลอกลวงของ $[(d − 1)/2]$ พิกัดเป็นไปได้ที่จะระบุได้ว่าพิกัดใดถูกหลอก "