วิธีพิสูจน์ผลรวมของ 2 การแจกแจงแบบเกาส์เซียนก็เป็นการแจกแจงแบบเกาส์เซียนโดยใช้ฟังก์ชันลักษณะ [ซ้ำกัน]
ให้ X และ Y เป็นสอง $ \mathcal{N}(0, 1) $การแจกแจง ฉันต้องพิสูจน์ว่าสำหรับ$(a,b)\in \mathbb{R}^2 $, $ aX + bY $ เท่ากับ $\mathcal{N}(0, a^2 + b^2)$.
ฉันกำลังพยายามทำสิ่งนี้โดยใช้ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแจกแจงแบบเสียน $$ \phi_{aX + bY}(t) = \int_{\mathbb{R}}{ \mathbb{e}^{it(ax+by)}{\frac{1}{2} \mathbb{e}^{-\frac{x^2}{2}}} dx} $$
ฉันไม่รู้จะทำยังไงดีเพราะการเปลี่ยนตัวแปรฉันไม่สามารถแทนที่ทั้ง x และ y ได้ ความสุขใด ๆ ?
คำตอบ
ปล่อย $Z=aX+bY$. ฟังก์ชันลักษณะของ$Z$ คือ:
$\phi_Z(t)=E\{e^{itZ}\}=E\{e^{it(aX+bY)}\}=E\{e^{i(at)X}e^{i(bt)Y)}\}$
แก้ไข (ข้อผิดพลาดเลอะเทอะ ... ) หาก X และ Y เป็นอิสระ:
$\phi_Z(t)=E\{e^{i(at)X}\}E\{e^{i(bt)Y)}\}=\phi (at) \phi (bt)$,
ที่ไหน $\phi(w)=e^{-\frac{w^2}{2}}$คือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแจกแจงปกติ ดังนั้น,
$\phi_Z(t)=e^{-\frac{1}{2}(at)^2}e^{-\frac{1}{2}(bt)^2}=e^{-\frac{1}{2}(a^2+b^2)t^2}$,
ซึ่งเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแจกแจงปกติ $\mathcal{N}(0,a^2+b^2)$.