วิธีทำให้นิพจน์คอมบิเนเตอร์ง่ายขึ้นในเชิงคำนวณ?

Question

ฉันมีนิพจน์ดังต่อไปนี้ $$\sum_{m=1}^{n}\sum_{k=m}^{n} (-1)^{k-m} {k\choose m} P_k$$ ที่ไหน $P_k$ เป็นฟังก์ชันโดยพลการขึ้นอยู่กับ $k$.

ตอนนี้มันง่ายที่จะเห็นว่านิพจน์นี้จะคำนวณสิ่งเดิมซ้ำแล้วซ้ำเล่า มีการนำเสนอที่กะทัดรัดกว่านี้ซึ่งเอาชนะปัญหานี้ได้หรือไม่? (ฉันไม่ต้องการโซลูชันการคำนวณ แต่เป็นโซลูชันพีชคณิตซึ่งสะท้อนถึงการประหยัดในการคำนวณ)

Answer 1

Peter Foreman ในความคิดเห็นนั้นถูกต้อง ย้อนกลับลำดับของการสรุปและใช้สูตรทวินาม:

$$\begin{align*} \sum_{m=1}^n\sum_{k=m}^n(-1)^{k-m}\binom{k}mP_k&=\sum_{k=1}^nP_k\sum_{m=1}^k(-1)^{k-m}\binom{k}m\\ &=\sum_{k=1}^nP_k\left(\underbrace{\sum_{m=0}^k(-1)^{k-m}\binom{k}m}_{=0}-(-1)^k\right)\\ &=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}P_k \end{align*}$$