วิธีทำความเข้าใจวงโคจรของขนาด $1$ ในกรณีนี้

Question

ฉันเป็นผู้เริ่มเรียนทฤษฎีกลุ่มด้วยตนเองดังนั้นโปรดอดทนกับคำถามนี้ซึ่งอาจมีคำตอบง่ายๆ รับ$p$-กลุ่ม $G$ สำหรับนายกบางคน $p$, ปล่อย $H$ เป็นกลุ่มย่อยของ $G$. ปล่อย$X$ เป็นเซตของคอนจูเกตทั้งหมดของ $H$.

ตอนนี้ $H$ ทำหน้าที่ $X$โดยการผันคำกริยา ฉันอ่านว่ามีอย่างน้อย$p$ วงโคจรขนาด $1$ ใน $X$.

ตัวอย่างหนึ่งของวงโคจรที่มีขนาด $1$ คือ $\{H\} \in X$. ตัวอย่างนี้ตามมาตั้งแต่$aHa^{-1}=H$ สำหรับใด ๆ $a \in H$ ตั้งแต่ $H$ เป็นกลุ่มย่อยและเรามี $\text{Orb}(H)=H$.

แต่ฉันอ่านตั้งแต่นั้นมา $p$ เป็นสิ่งสำคัญอย่างน้อยก็มี $p-1$ วงโคจรขนาดอื่น ๆ $1$. ดังนั้นควรจะมีวงโคจรอื่น$gHg^{-1} \neq H$ ขนาด $1$ ใน $X$.

สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจคือวิธีการ $gHg^{-1}$ อาจมีขนาด $1$ ภายใต้การดำเนินการของ $H$. ไม่ควรหมายความอย่างนั้น$\text{Orb}(gHg^{-1})=\{agHg^{-1}a^{-1} | a \in H\}$ และ $\text{Orb}(gHg^{-1})$ อาจไม่จำเป็นต้องเท่ากับ $gHg^{-1}$. อย่างไรก็ตามควรมีขนาด$1$ซึ่งหมายความว่า $\text{Orb}(gHg^{-1})$ ในความเป็นจริงควรจะเท่ากับ $gHg^{-1}$.

สำหรับการอ้างอิงผลลัพธ์นี้มาจากทฤษฎีบทของ Rotman 4.6 ซึ่งไม่มีการกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมใด ๆ $H$ และ $G$ ยกเว้นว่า $H$ เป็นกลุ่มย่อยของไฟล์ $p$-กลุ่ม $G$ ... ฉันพลาดอะไรไปที่นี่?

Answer 1

สิ่งแรกที่ควรทราบก็คือถ้า $|X| = 1$ แล้วเราจะไม่มี $p-1$ วงโคจรอื่น ๆ ดังนั้นเราจะต้องพิจารณาด้วย $|X| \gt 1$.

เราจะใช้คุณสมบัติของวงโคจรทั้งสองนี้เพื่อพิสูจน์คำพูดของเรา:

1. วงโคจรไม่ปะติดปะต่อกันและการรวมกันเป็นชุดทั้งหมด $X$ (ควรจะดูง่าย)

2. ขนาดวงโคจรแบ่งลำดับของกลุ่ม (สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในทฤษฎีบท Orbit-stabilizer)

โดยคุณสมบัติ (1) เรามีสิ่งนั้น $$|X| = \sum_{Y \in \mathcal{O}} |Y|$$ ที่ไหน $\mathcal{O}$คือชุดที่มีวงโคจรทั้งหมดของการกระทำ ตอนนี้เราแยกกัน$\mathcal{O}$ ออกเป็นสองส่วนย่อยที่ไม่ปะติดปะต่อ: $\mathcal{O'}$ และ $\mathcal{O''}$ ที่ไหน $\mathcal{O'}$ คือชุดของวงโคจรทั้งหมดที่มีขนาด $1$ และ $\mathcal{O''}$ คือเซตของวงโคจรทั้งหมดที่มีขนาดมากกว่า $1$. ซึ่งหมายความว่า$$|X| = \sum_{Y' \in \mathcal{O'}} |Y'| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$$ ตั้งแต่ $|Y'| = 1$. โดยคุณสมบัติ (2) เรารู้ว่า$|Y''|$ หาร $|X| = p^n$ และ $|Y''| > 1$ ซึ่งหมายความว่า $|Y''| = p^k$ ที่ไหน $k > 1$ ซึ่งหมายความว่า $p$ หาร $|Y''|$. เราสามารถดู$X$ เป็นวงโคจรที่การกระทำของกลุ่มถูกผันโดยกลุ่ม $G$. ซึ่งหมายความว่า$|X|$ หาร $|G| = p^n$. ตั้งแต่$|X| > 1$ เรามีสิ่งนั้น $p$ หาร $|X|$. ตั้งแต่$|X| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$, $p$ ยังต้องแบ่ง $|\mathcal{O'}|$ ซึ่งหมายความว่า $|\mathcal{O'}| = pm$ สำหรับบางคน $m \gt 1$ ซึ่งหมายความว่า $|\mathcal{O'}| \geq p$ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราพยายามพิสูจน์