อะไรคือคำจำกัดความที่ถูกต้องของความแตกต่างอย่างต่อเนื่อง?
สมมติ $V$ และ $W$ คือช่องว่าง Banach $U\subset V$ เปิดอยู่และ $F:U\to W$เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างกัน จากนั้นอนุพันธ์ของ$F$ คือแผนที่ $$ DF:U\to B(V;W) $$ ที่ไหน $B(V;W)$ คือพื้นที่ Banach ของแผนที่เชิงเส้นต่อเนื่อง $V\to W$.
เราว่าอย่างนั้น $F$เป็นชั้นเรียน $\mathcal{C}^1$ ณ จุดหนึ่ง $x_0\in U$ ถ้าการทำแผนที่ $$ U\ni x\mapsto DF(x) \in B(V;W) $$ ต่อเนื่องที่ $x_0$; เราพูดอย่างนั้น$F$เป็นชั้นเรียน $\mathcal{C}^1$ บน $U$ ถ้า $F$ เป็นชั้นเรียน $\mathcal{C}^1$ ในแต่ละจุดใน $U$.
ถ้า $X$ เป็นส่วนย่อยของพื้นที่ Banach โดยพลการ $V$ และ $f:X\to W$ เป็นแผนที่แล้วเราพูดอย่างนั้น $f$เป็นชั้นเรียน $\mathcal{C}^1$ บน $X$ หากมีส่วนย่อยที่เปิดอยู่ $U$ ของ $V$ ที่ไหน $X\subset U$ และฟังก์ชั่น $F:U\to W$ ของชั้นเรียน $\mathcal{C}^1$ บน $U$ ที่ไหน $F|_X=f$. (ไม่เป็นทางการเราสามารถขยาย$f$ ไปยังชุดเปิดที่เป็นคลาส $\mathcal{C}^1$.)
ดูคำตอบสำหรับฟังก์ชันนี้$f$ซึ่งมีความแตกต่างอย่างต่อเนื่องเพียงจุดเดียว กล่าวคือถ้า$g(t)=t^2\sin(1/t)$ สำหรับ $t\in\mathbb{R}$ จากนั้นฟังก์ชั่น $$ f(t) = \sum_{n\geq 1} \frac{g(t-1/n)}{2^n} $$ มีความแตกต่างอย่างต่อเนื่องที่ $t=0$. อย่างไรก็ตาม$f$ มีความไม่ต่อเนื่องโดยพลการใกล้เคียงกับแหล่งกำเนิดดังนั้น $f$ ไม่สามารถอยู่ในชั้นเรียนได้ $\mathcal{C}^1$ ในชุดเปิดใด ๆ ที่มี $0$.
นั่นคือ, $f$ เป็นฟังก์ชันที่มีคลาส $\mathcal{C}^1$ ที่ $0$แต่ $f$ ไม่ใช่ $\mathcal{C}^1$ บน $\{0\}$.
สิ่งนี้ดูเหมือนจะไม่เหมาะกับฉัน แน่นอนว่ามันไม่ใช่ "ปกติ" สำหรับฟังก์ชันที่เราพบว่าทำงานในลักษณะนี้ อย่างไรก็ตามตัวอย่างนี้ยังคงรบกวนจิตใจฉัน พวกเราทำอะไรได้บ้าง? เราสามารถแก้ไขคำจำกัดความข้างต้นเล็กน้อยเพื่อไม่ให้สิ่งนี้เกิดขึ้นได้หรือไม่? คำตอบที่ฉันอ้างถึงไม่ถูกต้องหรือไม่? (ฉันไม่สามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ที่เขาระบุ ... )
คำตอบ
อย่างที่ฉันรู้ฟังก์ชั่นคือ $\mathcal C^1$ ในชุด $X\subseteq V$ ถ้ามันเป็น $\mathcal C^1$ ที่ด้านในของ $X$ และ $\mathrm Df$ สามารถขยายได้อย่างต่อเนื่องถึง $X$. ด้วยนิยามนี้ฟังก์ชันตัวอย่างของคุณจะเป็น$\mathcal C^1$ บน $\{0\}$เนื่องจากภายในชุดนี้ว่างเปล่าและฟังก์ชันใด ๆ จึงว่างเปล่า $\mathcal C^1$ในชุดว่าง แต่คำจำกัดความนี้น่าสนใจจริงๆสำหรับฉากที่มีการตกแต่งภายในที่ไม่ว่างเปล่า พฤติกรรมของคำจำกัดความนี้ในชุดที่ไม่เป็นไปตาม$X=\overline{X^\circ}$, ชอบ $\{0\}$เป็นเพียงสิ่งประดิษฐ์ตลก ๆ นอกจากนี้ยังส่งผลให้ฟังก์ชันต่างๆ$\mathcal C^1$ บน $\{0\}$, แต่ไม่ $\mathcal C^1$ ใน $0$ดังนั้นปัญหาที่ตรงกันข้ามกับที่คุณพูดถึง
ด้วยเหตุผลเหล่านี้โดยทั่วไปคุณควร จำกัด ตัวเองให้อยู่ในชุดเปิดหรือปิดชุดเปิดและไม่ต้องกังวล $\mathcal C^1$-ness ในชุดซิงเกิลตัน มันจะไม่ให้ข้อมูลเชิงลึกที่ยิ่งใหญ่อยู่ดี จากนั้นคำจำกัดความจะอ่านดังนี้:
ปล่อย $U\subseteq V$เปิดกว้าง แล้ว$\mathcal C^1(U,W)$ คือชุดของฟังก์ชันที่แตกต่างอย่างต่อเนื่องทั้งหมด $U\to W$และ $\mathcal C^1(\overline U,W)$ คือชุดของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด $f:\overline U\to W$ ซึ่ง $f\vert_U\in\mathcal C^1(U,W)$ ดังนั้น $\mathrm D(f\vert_U)$ สามารถขยายได้อย่างต่อเนื่องถึง $\overline U$.