อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบท HK แรกกับทฤษฎีบท HK ที่สอง?

Question

ทฤษฎีบท Hohenberg-Kohn (HK) แรก : ศักยภาพภายนอก$v(\vec{r})$ ถูกกำหนดภายในค่าคงที่ของสารเติมแต่งเล็กน้อยโดยความหนาแน่นของอิเล็กตรอนในสถานะพื้นดิน $\rho(\vec{r})$.

จากกลศาสตร์ควอนตัมพื้นฐานเรารู้ว่า: $v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0\rightarrow \rho$. Accoridng ถึงทฤษฎีบท HK แรกเราสามารถรู้ได้มากขึ้น$\rho \rightarrow v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0,\psi_1,\cdots$. ในสาระสำคัญทฤษฎีบท HK แรกพิสูจน์การทำแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างศักยภาพภายนอกและความหนาแน่นของสถานะพื้นดิน$\rho$ ในระบบอิเล็กตรอนจำนวนมาก

ทฤษฎีบท HK ที่สอง : มีฟังก์ชันสากลของความหนาแน่น$F_{HK}[\rho']$เช่นนั้นสำหรับใด ๆ $N$- ความหนาแน่นที่เปลี่ยนแปลงได้ ($\textit{i.e.}$ความหนาแน่นใด ๆ ที่มาจากการทำงานของคลื่นสำหรับ $N$- ระบบอิเล็กตรอน) $\rho(\vec{r})$ซึ่งให้จำนวนอิเล็กตรอนที่กำหนด $N$พลังงานทำหน้าที่คือ $$E[\rho'] = F_{HK}[\rho']+\int \rho'(\vec{r})v(\vec{r}) d\vec{r} \geq E_g \tag{1} $$ ซึ่งใน $E_g$ คือพลังงานของสถานะพื้นดินและความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นเมื่อความหนาแน่น $\rho'(\vec{r})$ คือความหนาแน่นของสถานะพื้นดินที่อาจลดลง $\rho_0'(\vec{r})$ สำหรับศักยภาพภายนอก $v(\vec{r})$.

จากสองคำสั่งฉันไม่เห็นความเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีบททั้งสอง แล้วทฤษฎีบททั้งสองมีความสัมพันธ์กันอย่างไร? ถ้า$F_{HK}(\rho')$เป็นฟังก์ชันของความหนาแน่นของสถานะพื้นดินฉันสามารถสร้างการเชื่อมต่อระหว่างสองทฤษฎีบท แต่ความหนาแน่นใน$F_{HK}[\rho]$ ไม่จำเป็นต้องมีความหนาแน่นของสถานะพื้นดิน

• เกี่ยวกับทฤษฎีบท HK แรก: http://unige.ch/sciences/chifi/wesolowski/public_html/dft_epfl_2016/part_I/dftepfl_part_II.pdf
• เกี่ยวกับทฤษฎีบท HK ที่สอง: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128136515000048?via%3Dihub

Answer 1

การใช้สัญกรณ์ของคุณคำจำกัดความสำหรับฟังก์ชันสากลคือ

$$ F_{HK}[\rho] = \left< \psi_0[\rho] \right| \hat{T} + \hat{W} \left| \psi_0[\rho] \right>, $$

ที่ไหน $\hat{T}$ และ $\hat{W}$เป็นตัวดำเนินการปฏิสัมพันธ์จลน์และอิเล็กตรอน - อิเล็กตรอนตามลำดับ คำจำกัดความนี้เป็นไปได้เนื่องจากการทำแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างความหนาแน่นและฟังก์ชันคลื่นสถานะพื้นดินที่สอดคล้องกัน (กล่าวคือเนื่องจาก$\psi_0$ เป็นฟังก์ชันของ $\rho$) ซึ่งฉันเชื่อว่าเป็นการเชื่อมต่อที่คุณกำลังมองหา

Answer 2

การเชื่อมต่ออย่างเป็นทางการคือทฤษฎีบทแรกถูกใช้ในการพิสูจน์ข้อที่สอง อันที่จริงประการที่สองคือการแปลหลักการว่า$E[\Psi']$ มีค่าต่ำสุดที่ฟังก์ชันคลื่นสถานะพื้นดินที่ถูกต้อง $\Psi$โดยใช้การติดต่อแบบตัวต่อตัว $\rho \leftrightarrow \Psi$ รู้จักจากทฤษฎีบทแรก

แหล่งที่มาสามารถพบได้ในเอกสารต้นฉบับของ Kohn และ Hohenberg (ตอนที่ I-2) มันค่อนข้างสั้นและอ่านง่ายดังนั้นจึงควรค่าแก่การดู