อะไรคือสิ่งที่จำเป็นในการพิสูจน์ว่าสเปซแทนเจนต์บนท่อร่วมนั้นเป็นปริภูมิเวกเตอร์ [ซ้ำ]
ฉันกำลังทำงานกับนิยามของเวกเตอร์แทนเจนต์ว่าเป็นคลาสของเส้นโค้งที่เทียบเท่ากัน ดังนั้น$v =[\gamma]$ และ $w=[\sigma]$ ที่ไหน $v,w$คือเวกเตอร์ ผมต้องการพิสูจน์ว่าผลรวมของคลาสการเทียบเท่าทั้งสองนี้เป็นคลาสความเท่ากันด้วยเพื่อให้มันมีโครงสร้างสเปซเวกเตอร์ เรากำหนดผลรวมเป็น:
$v+w= [\phi^{-1} \circ (\phi \circ \gamma + \phi \circ \sigma)]$
ที่ไหน $\phi$เป็นแผนภูมิ ฉันเข้าใจว่าไม่สามารถเพิ่มเส้นโค้งได้เมื่อเป็นส่วนหนึ่งของท่อร่วมนั่นคือเหตุผลที่เราทำแผนที่ก่อนจากนั้นจึงเป็นจุดเริ่มต้นที่สามารถทำได้ ดังนั้นเมื่อกำหนดผลรวมแล้วฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าเป็นคลาสอื่น ณ จุดนั้น$p$ บน $M$. เพียงพอหรือไม่ที่จะตรวจสอบว่าแผนที่ผ่านไป$p$เหรอ? คำถามเดียวกันนี้ใช้สำหรับการคูณด้วยสเกลาร์ ขอบคุณ
คำตอบ
เมื่ออ่านโพสต์ของคุณอย่างรอบคอบมากขึ้นนี่คือสรุปความผิดพลาดของคุณเพียงประโยคเดียว: คุณกำลังพยายามเพิ่ม (และสเกลาร์คูณ) เส้นโค้งใน$\Bbb{R}^n$แทนที่จะเป็นความเร็ว ดังที่คุณสังเกตเห็นการเพิ่มเส้นโค้งจะทำให้สิ่งต่าง ๆ ยุ่งเหยิงด้วยจุดฐาน
เรามี $T_pM$ คือเซตของคลาสความเท่ากันของเส้นโค้งเรียบ $[\gamma]$, ที่ไหน $\gamma$ ถูกกำหนดในช่วงเวลาเปิดบางส่วนที่มี $0$ ดังนั้น $\gamma(0)=p$. ตอนนี้สำหรับแผนภูมิใด ๆ$(U,\phi)$ เกี่ยวกับประเด็น $p$พิจารณาฟังก์ชั่น $F_{\phi,p}:T_pM \to \Bbb{R}^n$ กำหนดเป็น \begin{align} F_{\phi,p}([\gamma]):= (\phi\circ \gamma)'(0). \end{align}ฟังก์ชันนี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างชัดเจนเนื่องจากวิธีการกำหนดความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกัน สังเกตความหมายที่เข้าใจง่าย:$\gamma$ คือเส้นโค้งที่มีค่าในท่อร่วม $M$ดังนั้นถ้าเราใช้แผนภูมิเราจะได้เส้นโค้งที่สอดคล้องกัน $\phi\circ \gamma$ ด้วยค่าในช่องว่าง Banach (เช่นปริภูมิเวกเตอร์บรรทัดฐาน) $\Bbb{R}^n$และเรารู้ว่าแคลคูลัสทำงานอย่างไรในการตั้งค่าปริภูมิเวกเตอร์ ดังนั้นแผนที่ทั้งหมดนี้$F_{\phi,p}$ มันเป็นเส้นโค้ง $[\gamma]$ และแมปกับ "เวกเตอร์ความเร็ว" $(\phi\circ \gamma)'(0)$. ฉันหวังว่าสิ่งนี้จะใช้งานง่าย (มิฉะนั้นให้วาดภาพสองสามภาพเพื่อดูว่าแต่ละวัตถุอยู่ที่ไหน)
ตอนนี้ยังง่ายต่อการตรวจสอบ $F_{\phi,p}$เป็นฟังก์ชัน bijective ฉันฝากไว้ให้คุณตรวจสอบ$G_{\phi,p}:\Bbb{R}^n\to T_pM$ กำหนดเป็น \begin{align} G_{\phi,p}(v):= [t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)] \end{align}คือฟังก์ชันผกผัน พูดง่ายๆคือเรากำลังหาเวกเตอร์$v\in\Bbb{R}^n$และพิจารณาเส้นตรง $t\mapsto \phi(p)+tv$. นี่คือเส้นโค้งตามจุด$\phi(p)$ในทิศทาง $v$. ตั้งแต่$\phi$ เป็น homeomorphism ตามด้วยค่าที่เล็กพอของ $t$, เรามี $\phi(p)+tv\in \phi(U)=\text{domain}(\phi^{-1})$ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาระดับความเท่ากันของเส้นโค้งได้ $t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)$.
ดังนั้นสัญกรณ์พิเศษทั้งหมดนี้ให้ผลอะไร? เรามีฟังก์ชัน bijective$F_{\phi,p}:T_pM\to \Bbb{R}^n$, และแน่นอนว่า, $\Bbb{R}^n$ คือปริภูมิเวกเตอร์ดังนั้นโดยพีชคณิตเชิงเส้นพื้นฐานเราสามารถ "ดึงกลับ" โครงสร้างสเปซเวกเตอร์ของ $\Bbb{R}^n$ เพื่อให้ $F_{\phi,p}$isomorphism เชิงเส้น อย่างชัดเจนสิ่งที่ฉันหมายถึงคือเราสามารถกำหนดการบวกและการคูณสเกลาร์ได้$+_{\phi}$ และ $\cdot_{\phi}$ (ฉันใส่ตัวห้อยเพราะทุกอย่างขึ้นอยู่กับแผนภูมิ) ดังต่อไปนี้: \begin{align} \begin{cases} [\gamma_1]+_{\phi} [\gamma_2]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(F_{\phi,p}([\gamma_1])+ F_{\phi,p}([\gamma_2])\bigg)\\ c\cdot_{\phi}[\gamma]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(c\cdot F_{\phi,p}([\gamma])\bigg) \end{cases} \end{align}
หากคุณคลายคำจำกัดความทั้งหมดแล้ว \begin{align} c\cdot_{\phi}[\gamma_1]+_{\cdot}[\gamma_2]= [t\mapsto \phi^{-1}\left(\phi(p) + t(c\cdot (\phi\circ \gamma_1)'(0)+(\phi\circ \gamma_2)'(0))\right)] \end{align} หวังว่าแนวคิดจะชัดเจนเพียงพอ: คุณมีอคติดังนั้นคุณเพียงแค่ผลักดันทุกอย่างไปข้างหน้าทำการคำนวณใน $\Bbb{R}^n$จากนั้นนำทุกอย่างกลับไปที่ $T_pM$และนั่นคือวิธีกำหนดการบวกและการคูณสเกลาร์ ผมฝากไว้ว่าคุณพอใจกับสัจพจน์ของปริภูมิเวกเตอร์ทั้งหมดแล้ว$F_{\phi,p}$ คือ isomorphism เชิงเส้นเป็นต้น
สิ่งสุดท้ายที่ควรทราบก็คือจนถึงขณะนี้การบวกและการคูณสเกลาร์ได้ถูกกำหนดโดยใช้แผนภูมิเฉพาะ $(U,\phi)$แต่จริงๆแล้วมันเป็นกฎลูกโซ่ง่ายๆในการตรวจสอบว่าคุณมีแผนภูมิอื่นหรือไม่ $(V,\psi)$แล้ว $+_{\phi}=+_{\psi}$ และ $\cdot_{\phi}=\cdot_{\psi}$ดังนั้นโครงสร้างพื้นที่เวกเตอร์จึงเปิดอยู่ $T_pM$ จริงๆแล้วไม่ขึ้นกับแผนภูมิดังนั้นเราจึงแสดงว่ามันเป็น $+$ และ $\cdot$เหมือนอย่างเคย. ฉันปล่อยให้คุณคลายคำจำกัดความใช้กฎลูกโซ่และอื่น ๆ เพื่อตรวจสอบสิ่งนี้ หากคุณมีปัญหาโปรดแจ้งให้เราทราบเราอาจอธิบายเพิ่มเติมได้