อะไรคือสิ่งที่สังเกตได้เมื่อวัดหลาย qubits ในพื้นฐานการคำนวณ?

Aug 19 2020

ใน Nielsen และ Chuang การคำนวณควอนตัมและข้อมูลควอนตัมคำจำกัดความต่อไปนี้ถูกกำหนดให้กับการวัดแบบโปรเจกต์:

การวัดแบบฉายภาพอธิบายได้โดยการสังเกตได้ $M$ :

$$M = \sum_m m P_m$$

ด้วย $P_m$ โปรเจ็กเตอร์ไปยัง Eigenspace ของ $M$ ด้วยค่าเฉพาะ $m$.

คำถามของฉันตอนนี้คือเมื่อเราบอกว่าเราวัดระบบ n qubits ในพื้นฐานการคำนวณเราอ้างถึงสิ่งที่สังเกตได้อย่างแม่นยำ?

สำหรับ 1 qubit ฉันรู้ว่าสิ่งนี้อ้างถึง Z ที่สังเกตได้:

$$Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = |0 \rangle \langle 0| - |1\rangle \langle 1|.$$

สำหรับ n qubits สัญชาตญาณของฉันจะเป็น:

\begin{align*} P_1 & = \underbrace{Z \otimes I \otimes ... \otimes I}_{n \textrm{ terms}}. \\ P_2 & = I \otimes Z \otimes ... \otimes I. \\ & ... \\ P_n & = I \otimes I \otimes ... \otimes Z. \end{align*}

กับเมทริกซ์เอกลักษณ์

จากนั้นสิ่งที่สังเกตได้ก็จะเป็นไปตามนิยาม ถูกต้องหรือไม่

คำตอบ

3 JSdJ Aug 19 2020 at 20:35

โปรดทราบว่าคำจำกัดความปัจจุบันของคุณเกี่ยวกับเมทริกซ์การฉายภาพ $\{P_{1},P_{2},...,P_{n}\}$ ไม่ใช่เมทริกซ์การฉายภาพเนื่องจาก $P_{i}^{2} = I \not= P_{i} \,\, \forall i$.

สิ่งที่ดีกว่าคือถ้าคุณมีสิ่งที่ต้องการ:

\ begin {สมการ} \ begin {split} P_ {1} ^ {+ 1} = & | 0 \ rangle \ langle 0 | \ otimes I \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {1} ^ {- 1} = & | 1 \ rangle \ langle 1 | \ otimes I \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {2} ^ {+ 1} = & I \ otimes | 0 \ rangle \ langle 0 | \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {2} ^ {- 1} = & I \ otimes | 1 \ rangle \ langle 1 | \ otimes I .... \ otimes I \\ & \ vdots \\ P_ {n} ^ {+ 1} = & I \ otimes I .... \ otimes I \ otimes | 0 \ rangle \ langle 0 | \ \ P_ {n} ^ {- 1} = & I \ otimes I .... \ otimes I \ otimes | 1 \ rangle \ langle 1 | \\ \ end {split} \ end {equation}

อย่างไรก็ตาม PVM ต้องมีสิ่งนั้น $\sum_{i = 0}^{2n-1} P_{i} = I$ซึ่งไม่ชัดเจนในกรณีนี้! เราสามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยการปรับค่าปกติ แต่มีอีกสิ่งหนึ่งที่ขาดหายไปที่นี่: โปรเจ็กเตอร์เหล่านี้ไม่ได้คำนึงถึงความสัมพันธ์ใด ๆที่การวัดอาจมี

ทางเลือกที่ดีกว่าจึงเป็นตัวดำเนินการวัดผล $Z_{n} = Z \otimes Z \otimes Z ... \otimes Z$. ตัวดำเนินการนี้มี$2^{n}$ eigenvectors:

$$Z_{n} = \sum_{i \in \{0,1\}^{n}} m_{i} |i\rangle\langle i|,$$ ที่ไหน $m_{i} = \pm 1$ ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันของ bitstring $i$. จากผลการวัดคุณจะได้รับ bitstring$i$ที่เกี่ยวข้องกับการฉายภาพเกี่ยวกับสถานะ $|i\rangle$.

2 DaftWullie Aug 19 2020 at 20:59

คุณเพียงแค่ต้องการตัวดำเนินการเส้นทแยงมุมใด ๆที่มีองค์ประกอบเส้นทแยงมุมที่แตกต่างกัน (ซึ่งหมายความว่าทุกองค์ประกอบพื้นฐานจับคู่กับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันของการวัด)

วิธีหนึ่งที่สะดวกในการแสดงสิ่งนี้ในแง่ของเมทริกซ์ Pauli คือ $$ \sum_{i=1}^N2^{N-i-1}(1-Z_i) $$ สำหรับสถานะพื้นฐาน $|x\rangle$ ที่ไหน $x$ เป็นเลขฐานสองค่าลักษณะเฉพาะคือการแทนค่าทศนิยมของ $x$(และด้วยเหตุนี้จึงแตกต่างกัน) แน่นอนคุณสามารถทิ้งคำศัพท์ประจำตัวทั้งหมดได้เนื่องจากคำเหล่านี้ทำให้ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเปลี่ยนไป

1 glS Aug 19 2020 at 22:28

โปรดทราบว่าหากคุณกำลังพิจารณาการวัดแบบโปรเจ็กต์คุณไม่จำเป็นต้องจัดการกับสิ่งที่สังเกตได้เลย การวัดผลแบบฉายภาพมีลักษณะเป็นพื้นฐาน$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1\rangle}\{\ket{u_i}\}_i$ ซึ่งคุณกำลังวัดและดังนั้นความน่าจะเป็นของการคาดการณ์ที่เกี่ยวข้อง $p_i\equiv \lvert\langle u_i\rvert \psi\rangle\rvert^2$ (เมื่อไหร่ $\ket\psi$คือสถานะที่กำลังวัด) คุณไม่ต้องการสิ่งอื่นใด

การนำสังเกตในภาพสามารถเป็นประโยชน์ขึ้นอยู่กับสถานการณ์และว่าสิ่งที่คุณมีความสนใจใน. แต่จำไว้ว่า observables จะใช้ในการคำนวณค่าความคาดหวัง กล่าวอีกนัยหนึ่งคือคุณกำหนดสิ่งที่สังเกตได้โดยการแนบตัวเลขเข้ากับผลลัพธ์การวัดที่เป็นไปได้จากนั้นคำนวณค่าความคาดหวังของตัวเลขเหล่านี้ตามการแจกแจงความน่าจะเป็น$p_i$.