อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติสองรูป
รูปหลายเหลี่ยมในรูปด้านล่างคือรูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมด (เฮปตากอนปกติ) แบ่งจุดยอดและเส้นสีส้มพาดผ่านจุดยอดทั้งสามของรูปหลายเหลี่ยมปกติพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติขนาดเล็กและรูปหลายเหลี่ยมปกติขนาดใหญ่แสดงเป็น $S_1$, $S_2$, คืออะไร $\frac{S_1}{S_2}$เหรอ?

คำถามเพิ่มเติม (รูปหลายเหลี่ยมเก้าเหลี่ยมปกติ)

คำตอบ

จะไม่ผ่านการคำนวณ แต่นี่คือแนวคิด
ครั้งแรกตั้งแต่ $\triangle ADE$ และ $\triangle BDF$ คล้ายกันเรารู้ $AE$ ทะลุผ่าน $G$.
ตอนนี้เราสามารถคำนวณ $DG$,$GC$,$AG$ ขึ้นอยู่กับเฮปตากอนด้านซ้ายและตั้งแต่ $AD\parallel CE$ เราสามารถคำนวณได้ $GE=GC\cdot {AD\over DG}$. นอกจากนี้เรารู้$\angle DGE=180^{\circ}-\angle AGD={5\over 7}180^{\circ}$.
ดังนั้น $DE^2=DG^2+GE^2-2\cos({5\over 7}180^{\circ})DG\cdot GE$.
ถ้าคุณปล่อยให้ $a=DG,b=DA,c=DB$มีเอกลักษณ์บางอย่างที่นี่
ใช้ตัวตน $\cos({5\over 7}180^{\circ})=-{a^2+c^2-b^2\over 2ac}=-{a+b\over 2c}$
แก้ไขใหม่: เพิ่งรู้จริง $\angle GEB=\angle GAD=\angle GBE$ ดังนั้น $GE$ เป็นจริง $b$.
ตอนนี้การคำนวณนั้นง่ายมาก:
$$ED^2=a^2+b^2+ab\cdot{(a+b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+{bc(c-b)+c(c+a)(c-b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+bc-b^2+c^2+ac-bc-ab$$ $$=a^2+c^2+ac-ab$$ $$=a^2+c^2+b^2-a^2-c^2+b^2$$ $$=2b^2$$
พื้นที่เท่ากับสองเท่า
แนวทางแก้ไขส่วนหนึ่ง $2$ (ปัญหาเพิ่มเติม):

ปล่อย $I$ เป็นจุดที่ $AD$ ตัดเส้นวงกลม $O$ ของ $\triangle ABC$. เชื่อมต่อ$IO$. ตั้งแต่$AI$ คือเส้นแบ่งครึ่งมุม $BI=CI$.
เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้ง่าย $BDEC$ สมมาตรเมื่อเทียบกับ $IO$. นอกจากนี้$\angle IBC=\angle ICB=10^{\circ}$ ดังนั้น $\angle IBD=50^{\circ}$.
ตอนนี้ให้ $\angle IDB=x$. ด้วยการติดตามมุมโดยใช้ข้อมูลข้างต้นเราพบ$$\angle BID=130^{\circ}-x$$ $$\angle IDE=140^{\circ}-x$$ $$\angle DIE=2x-100^{\circ}$$.
ถ้า $ID>DB=DE$แล้วเราก็มี $50^{\circ}>130^{\circ}-x$ และ $140^{\circ}-x>2x-100^{\circ}$ ดังนั้น $80^{\circ}>x>80^{\circ}$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ถ้า $ID<DB=DE$แล้วเราก็มี $50^{\circ}<130^{\circ}-x$ และ $140^{\circ}-x<2x-100^{\circ}$ ดังนั้น $80^{\circ}<x<80^{\circ}$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ดังนั้น $ID=DB=DE$ และ $\triangle IDE$ เป็นด้านเท่ากันดังนั้น $\angle IDE=60^{\circ}$ และ $\angle ADH=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$. ดังนั้น$BD \perp AC$.

($N$ เป็นเพียง $C$ ติดป้ายกำกับใหม่)
ที่เหลือง่ายๆเพียงครั้งเดียว $BD\perp AC$. เราสามารถค้นหา$\angle MDN=360^{\circ}-60^{\circ}--90^{\circ}-120^{\circ}=90^{\circ}$.
ตั้งแต่ $\angle DMN=60^{\circ}$, $DN=\sqrt{3} DM$ และอัตราส่วนพื้นที่ตรง $3$.