เอนโทรปีสัมพัทธ์สูงสุดระหว่างสถานะและระยะขอบ
พื้นหลัง
เอนโทรปีสัมพัทธ์ควอนตัมถูกกำหนดไว้สำหรับสถานะควอนตัมใด ๆ $\rho, \sigma$ เช่น
$$D(\rho\|\sigma) = tr(\rho\log\rho) - tr(\rho\log\sigma)$$
สำหรับการเลือกโดยพลการของ $\rho,\sigma$เอนโทรปีสัมพัทธ์ของควอนตัมสามารถรับค่าที่ไม่เป็นค่าลบใด ๆ พิจารณาสถานะสองฝ่าย$\rho_{AB}$ และปล่อยให้ขอบเป็น $\rho_A$ และ $\rho_B$. หากเราพิจารณา$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$เรามีข้อมูลร่วมกัน ยิ่งไปกว่านั้นเรามีสิ่งนั้น
$$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B) \leq \min(2\log|A|, 2\log|B|)$$
คำถาม
อะนาล็อกแบบ one-shot ของเอนโทรปีสัมพัทธ์คือเอนโทรปีสัมพัทธ์สูงสุดและถูกกำหนดให้เป็น
$$D_{\max}(\rho \| \sigma)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb{R}: 2^{\lambda} \sigma \geq \rho\right\},$$
ที่ไหน $A\geq B$ ใช้เพื่อแสดงว่า $A-B$เป็นค่ากึ่งบวกเชิงบวก เช่นเดียวกับเอนโทรปีสัมพัทธ์ทั่วไปเอนโทรปีสัมพัทธ์สูงสุดยังสามารถรับค่าที่ไม่เป็นค่าลบใด ๆ ถ้าตอนนี้ฉันพิจารณา$D_{\max}(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$มีขอบเขตบนของค่าสูงสุดที่สามารถรับได้หรือไม่?
ฉันเชื่อว่าคำตอบคือใช่ตั้งแต่กรณีของ $+\infty$ ถูกตัดออกเนื่องจากการสนับสนุนของ $\rho_{AB}$ ได้รับการสนับสนุนจาก $\rho_A\otimes\rho_B$ แต่ยังไม่พบความผูกพัน
คำตอบ
$\renewcommand{ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}$ สถานะที่ทำให้ข้อมูลซึ่งกันและกันอิ่มตัวคือ $$\rho_{AB} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \ket{a_i}\ket{b_i} $$ ที่ไหน $N = \min(|A|,|B|)$ และ $\{\ket{a_i}\}, \{\ket{b_i}\}$ เป็นฐานสำหรับ $A,B$ตามลำดับ โดยสัญชาตญาณสถานะนี้จะเพิ่มเอนโทรปีของขอบในขณะที่รักษา$A$ และ $B$ สัมพันธ์กันอย่างสมบูรณ์
รัฐนี้ให้ $I_{\max} = \log_2(N)$. ฉันยังไม่ได้พิสูจน์ว่านี่คือขอบเขตบน แต่ดูเหมือนว่าจะเป็นจุดเริ่มต้นที่ดี