อนุพันธ์ของเวลาของการทำแผนที่ $t \mapsto P_tf(x)=\mathbb{E}^x(f(X_t))$ - เครื่องกำเนิดเล็ก ๆ น้อย ๆ

Question

ใครช่วยอธิบายสมการ $1$ ในเรื่องนี้ https://math.stackexchange.com/a/697412/767953ในรูปแบบที่ง่ายกว่า? ฉันไม่เข้าใจวิธีจากสมการ$1$ เราจะเห็นว่า $u$ คือคำตอบของสมการความร้อน

Answer 1

คำใบ้

\ start {align} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} P_tf (x) & = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_ {t + h} f (x) -P_tf (x)} {h} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} P_t \ left (\ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_t \ left (\ lim_ {h \ ถึง 0} \ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_tAf (x) \\ & = AP_tf (x) \ end {align} ฉันให้คุณปรับความเท่าเทียมกันเป็นการบ้าน สำหรับคำถามอื่น ๆ ของคุณเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าขนาดเล็กของการเคลื่อนที่ของ Brownian หากได้รับ$$Af(x)=\frac{1}{2}\Delta f(x).$$ ทำการบ้านหากยังไม่ชัดเจนสำหรับคุณ