อธิบายความหมายของพหุนามที่ไม่สามารถวัดค่าได้เหนือ F

Question

ให้ F เป็นฟิลด์และให้ F [x] เป็นวงแหวนของพหุนามใน x ที่ไม่กำหนดค่าหนึ่งที่มีค่าสัมประสิทธิ์ใน F อธิบายความหมายของพหุนาม g (x) ใน F [x] ที่ไม่สามารถหาค่าได้เหนือ F

ฉันกำลังคิดแบบนี้ (สำคัญมากที่จะทำให้ถูกต้อง):

หมายความว่าพหุนามของดีกรี n> = 1 ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ในฟิลด์ F ถูกกล่าวว่าไม่สามารถวัดค่าได้เหนือ F หากไม่สามารถเขียนเป็นผลคูณของพหุนามสองค่าที่ไม่คงที่ที่ F ที่มีดีกรีน้อยกว่า n

เพียงพอที่จะทำให้ถูกต้อง? หรืออาจจะเพิ่มบรรทัดเกี่ยวกับพวกเขาทั้งหมดเป็นช่วงเวลา?

Answer 1

คุณไม่จำเป็นต้องระบุว่ามันมีการแยกตัวประกอบเป็นไพรม์ด้วยปัจจัยอย่างน้อยสองปัจจัย แต่เทียบเท่ากับวงแหวนพหุนาม

ในวงแหวนทั่วไปองค์ประกอบ $r$คือลดลงไม่ได้ถ้าเมื่อใดก็ตามที่มันถูกเขียนเป็น$r=ab$หนึ่งใน $a$ และ $b$กลับไม่ได้ การเขียน$r\mid a$ ถ้ามีอยู่ $b$ ดังนั้น $r=ab$อีกวิธีหนึ่งในการพูดเช่นนี้ก็คือ $r$ ไม่สามารถลดทอนได้หากเมื่อใดก็ตาม $a\mid r$, $r\mid a$.

สิ่งนี้แตกต่างจากไพรม์ซึ่งก็คือ: $r$เป็นนายกถ้า$r$ ไม่ใช่ศูนย์ของการกลับหัวกลับด้านและเมื่อใดก็ตาม $r\mid ab$, $r\mid a$ หรือ $r\mid b$.

ในโดเมนหนึ่ง (ด้วยเอกภาพ) $R$ทุกไพรม์ไม่สามารถลดทอนได้ แต่ไม่ใช่ว่าทุกไพรม์จะไม่จำเป็นต้องเป็นไพรม์ หากต้องการดูว่าทุกไพรม์ไม่สามารถลดทอนได้ให้สมมติว่า$r$ เป็นนายกและ $r=ab$. ตั้งแต่$r=ab$, แน่นอน $r\mid ab$. ด้วยประการฉะนี้$r\mid a$ หรือ $r\mid b$, โดยไม่สูญเสียของทั่วไป $r\mid a$. ด้วยประการฉะนี้$a=rs$ สำหรับบางคน $s$และด้วยเหตุนี้ $$ r=ab=rsb.$$ ตั้งแต่ $R$ เป็นโดเมนหนึ่งและ $r(1-sb)=0$เราเห็นว่า $sb=1$. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,$b$ กลับไม่ได้ดังนั้น $r$ ไม่สามารถลดได้

วงแหวนที่ทุกส่วนที่ไม่สามารถวัดค่าได้เป็นไพรม์คือโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะหรือ UFD ซึ่งเท่ากับว่าทุกองค์ประกอบ$r\in R$มีการแยกตัวประกอบเป็นสิ่งที่ไม่สามารถวัดค่าได้และสิ่งที่วัดค่าไม่ได้ที่ปรากฏในการแยกตัวประกอบนี้มีลักษณะเฉพาะในการเรียงลำดับใหม่และการคูณด้วยองค์ประกอบที่ผันกลับ

วงแหวนโพลิโนเมียล (ในหลายตัวแปร) บนฟิลด์เป็นตัวอย่างของยูเอฟดีดังนั้นสำหรับวงแหวนพหุนามจึงมีคำจำกัดความที่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้หลายประการ