อุดมคติที่มีบรรทัดฐานคงที่ในโดเมน Dedekind

Question

ให้โดเมน Dedekind ทั่วไป $R$ เป็นความจริงหรือไม่ว่ามีอุดมคติที่สำคัญที่สุดหลายประการ $R$ด้วยบรรทัดฐานเดียวกันหรือไม่ โดย "บรรทัดฐาน" ฉันหมายถึงดัชนีของอุดมคติใน$R$ถือว่า จำกัด

Answer 1

หนึ่งมีผลลัพธ์ทั่วไปดังต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท (Gilmer - Heinzer):ให้$R$เป็นแหวน Noetherian จากนั้นมีเพียงอุดมคติมากมายที่แน่นอน$I$ ของ $R$ ดังนั้น $|R/I|\leqslant n$ สำหรับจำนวนธรรมชาติใด ๆ $n$.

สำหรับการพิสูจน์สามารถดู [1] สำหรับการสนทนาแบบสบาย ๆ เพิ่มเติมโปรดดู [2 หน้า. 15].

[1] กิลเมอหม่อมราชวงศ์และ Heinzer ดับบลิว 1992 ผลิตภัณฑ์ของแหวนสับเปลี่ยนและศูนย์มิติ ธุรกรรมของ American Mathematical Society, 331 (2), pp.663-680

[2] Anderson, DF and Dobbs, D. eds., 1995. วงแหวนเปลี่ยนมิติเป็นศูนย์ (ฉบับ 171) CRC Press.