Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Objetivo de este artículo: Enunciar la desigualdad, discutir una demostración sencilla (hay muchas) y algunas aplicaciones en las áreas de las matemáticas.

Augustin-Louis Cauchy : el matemático cuyo nombre he escuchado una y otra vez en innumerables ocasiones a lo largo de toda mi carrera de matemáticas: el teorema de Cauchy o la fórmula integral de Cauchy, la secuencia de Cauchy, las ecuaciones de Cauchy-Riemann, la distribución de Cauchy, etc. Siempre apareció al menos una vez en cualquier módulo que cursé en la universidad —obligatorio o optativo— especialmente en Análisis, Cálculo Multivariable, Teoría de la Probabilidad y en algunos módulos algebraicos (Álgebra Lineal) y geométricos.

De sus muchos teoremas y resultados, una desigualdad que publicó es la desigualdad de Cauchy-Schwarz (o desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz ). Primero Cauchy publicó la desigualdad simple. Bunyakovsky y Schwarz siguieron, publicando la versión integral de la desigualdad y su demostración moderna.

Declaración

Vamos con el enunciado de la desigualdad.

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que,

Analicemos esto correctamente porque las notaciones matemáticas no son universales. Muchas veces, la misma notación se usa de manera diferente en varios lugares según el contexto del concepto matemático.

La norma euclidiana , o longitud, o magnitud de

se denota por |x| y se define por,

En muchos otros contextos y disciplinas, la notación ||x|| se utiliza en lugar de |x|.

La dirección de un vector x distinto de cero se define como el vector unitario x/|x|. La relación obvia

es el enunciado matemático de la definición informal de un vector (distinto de cero) como una cantidad que tiene tanto magnitud como dirección (*Tenga en cuenta que el vector cero no tiene dirección).

La distancia euclidiana entre los vectores x e y en R^n se define como

El producto interior euclidiano xy, también llamado producto punto y producto escalar , de los vectores x, y pertenecientes a R^n se define como

Otras notaciones para xy incluyen (x, y) y <x, y>. De las definiciones anteriores, es evidente que

Entonces la desigualdad de Cauchy-Schwarz,

o, para menor confusión,

se puede reescribir como,

Prueba

Ahora, demostremos esto. Hay muchas formas pequeñas y sencillas de demostrar esta desigualdad. Hablaré de uno de ellos en este artículo.

Primero tomamos dos vectores distintos de cero x, y pertenecientes a R^n.

sea ​​f(k) una función definida como,

(ky — x) también es un vector. Sabemos que la longitud de cualquier vector real siempre es positiva porque la longitud es el valor absoluto del vector, lo que significa que es la raíz de los cuadrados. Entonces, la longitud de cualquier vector real siempre es mayor o igual a 0.

Asi que,

Sabemos que si tomamos cualquier vector v,

Entonces, para el vector (ky — x),

Sabemos que el producto escalar es distributivo, asociativo y conmutativo. Usando la propiedad distributiva del producto escalar,

Luego, usando las propiedades conmutativas y asociativas del producto escalar,

Echemos

Esto va a ser mayor que 0 para cualquier k.

Ahora, evaluaremos k = b/2a en la función f(k). Antes de evaluar, debemos saber con certeza que el denominador no es cero. Entonces, a = yy donde y es un vector distinto de cero . También establecimos previamente que la longitud de cualquier vector real es mayor que 0. Por lo tanto, a es distinto de cero y también lo es 2a.

evaluando,

Simplificando la desigualdad nos da,

Volviendo a los valores originales a, b y c,

Echando raíces en los dos lados de la desigualdad,

Esta es la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Por lo tanto, probado!

Aparte de esto, hay muchas variantes en las que se puede probar esta desigualdad.

Ahora, antes de pasar a sus aplicaciones, permítanme señalar una cosa. ¿Qué pasa si un vector en la desigualdad es el múltiplo escalar del otro? Eso significa, ¿y si

Después,

Así, en el caso de que un vector en la desigualdad sea el múltiplo escalar del otro, la desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en una igualdad,

Aplicaciones

Esta desigualdad se aplica en muchos campos y áreas de estudio como en álgebra lineal (matrices, vectores y transformaciones), teoría de probabilidad (variables aleatorias, valores esperados y correlación), así como en física (principio de incertidumbre y ruido de fotones) e ingeniería. (valores cuadráticos medios en comparación con los valores máximos de una forma de onda)

En geometría, se puede usar para encontrar el ángulo entre dos vectores distintos de cero. La desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que, si los vectores x e y son ambos distintos de cero, entonces existe un único

Si conoce la desigualdad triangular del análisis, definida como

Conociendo las propiedades algebraicas simples, vectoriales y del producto interno, esta desigualdad triangular se puede probar usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

La ecuacion

se utiliza en estadística, específicamente en teoría de probabilidad para probar la desigualdad de covarianza, donde 'Var' denota varianza y 'Cov' denota covarianza.

En Cálculo multivariable, que fue parte de mi trabajo de curso en Warwick, esta desigualdad se usó al definir y demostrar una relación entre |Ax| y |x| de donde surge la norma del operador cuando x varía sobre R^n, donde,

L(R^n,R^k) es el espacio de mapas lineales,

Por lo tanto, en este artículo profundizamos en uno de los muchos resultados importantes en matemáticas avanzadas, que es una herramienta muy útil en demostraciones múltiples y en la comprensión de varios conceptos matemáticos.