Objetivo de este artículo: Definir y calcular este valor numéricamente. Las constantes aparecerían en Matemáticas.

Conocimiento asumido: Integración (Cálculo), Concepto de convergencia

Definición

Conocida también como la constante de Euler (que no debe confundirse con e = 2,718281828459045…), la constante de Euler-Mascheroni, que se denota con la gamma minúscula (γ), se define como,

“El límite como n → ∞ de la diferencia entre la serie armónica y el logaritmo natural de n .”

O,

Esta constante con un valor de aproximadamente γ = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992… existe. Pero aún no se sabe si la constante es trascendental o algebraica. De hecho, ni siquiera se sabe si γ es racional o irracional.

Si esta constante es racional, el denominador debe ser mayor que 10²⁴²⁰⁸⁰.

Cálculo del valor de γ

Sustituyamos varios valores de n en la ecuación de γ definida anteriormente,

Podemos ver aquí que a medida que n crece y se hace más y más grande, o, como tiende a infinito, el valor se acerca al valor inicialmente definido de esta constante. Este número es la constante de Euler-Mascheroni .

Representación gráfica de γ

El área naranja debajo de la curva y = 1/ x es la función logarítmica natural. Esto se debe a que la integración o el área bajo el gráfico y = 1/x es ln x .

El área verde de las barras es representación gráfica de la serie armónica.

La diferencia entre estas dos áreas sombreadas por los puntos azules (abajo) representa la constante de Euler-Mascheroni,

Prueba de convergencia

Sabemos que como n tiende a infinito, la función que define la constante de Euler-Mascheroni converge a un cierto valor constante. Pero, ¿cómo probamos esta convergencia sin ninguna fuerza bruta?

Entonces, sabemos que,

Dónde,

Echemos,

que da la constante cuando n tiende a infinito.

Para probar la convergencia, vamos a

1. Demostrar que la sucesión es decreciente y luego
2. Demostrar que está acotado .

Ahora, expresando ln⁡(1 +x ) usando la serie de Taylor ,

Tomando x = -1/ n ,

Usando (3) en (2),

Por lo tanto,

Por lo tanto, la sucesión es monótonamente estrictamente decreciente .

II. LA SECUENCIA ESTÁ LÍMITE

a) Límite superior de la secuencia

Como ahora sabemos que la sucesión es estrictamente decreciente, el primer término de la sucesión sería el término más grande.

Entonces, el primer término es,

Por lo tanto, el límite superior es 1 .

a) Límite inferior de la secuencia

Lo sabemos,

Esto se puede escribir como,

Ahora,

Podemos definir e^x como

Si omitimos el caso donde x = 0,

Asi que,

Tomando logaritmo natural en ambos lados,

De (5),

Haciendo la suma en ambos lados,

De (4),

Sumando H_n en ambos lados de la ecuación,

O,

Por lo tanto, el límite inferior es 0.

Por lo tanto, G_n es una secuencia monótonamente estrictamente decreciente con límites,

Por lo tanto, la secuencia converge a un límite γ, tal que 0 < γ < 1.

El límite de la sucesión G_n cuando n → ∞ es la constante de Euler-Mascheroni .