Matemáticas hiperconcisas D5: Números complejos

Las coordenadas polares (r, θ) = (magnitud, ángulo en sentido antihorario con cartesiano (1, 0)) se pueden utilizar para realizar un seguimiento de los ángulos entre varios vectores en dos dimensiones. Se relacionan con las coordenadas cartesianas (x, y) a través de las ecuaciones x = r⦁cos(θ) y y = r⦁sin(θ) ((−r, θ) se refiere al punto (r, θ + τ/2 ), y si k es cualquier número entero, (r, θ + k⦁τ) se refiere al punto (r, θ)). Resolviendo para r y θ, r² = x² + y² y

Por ejemplo,

Multiplicar un número (un vector dimensional) por −1 lo rota τ/2 radianes alrededor de 0 (en un espacio dimensional). Se puede definir un nuevo tipo de número (i) tal que al multiplicar un número por i lo rota τ/4 radianes alrededor de 0 (en el plano complejo); cualquier número en la forma x + i⦁y, donde tanto x como y son números reales (cualquier número que pueda definirse como el límite de una expresión decimal) e i² = −1 se conoce como número complejo. El plano complejo es el espacio bidimensional que contiene todos los números complejos.

Si z es cualquier número complejo (e es una constante definida con cálculo),

Por ejemplo,

Al usar las propiedades de las "funciones" inversas con números complejos, ya no puede ignorar las otras ramas:

Teorema fundamental del álgebra: si cada aₖ y bₖ es un número complejo que no depende de z (algunos pueden ser iguales), entonces