Muchos de ustedes probablemente no solo han oído hablar de las matrices, sino que las han aprendido en una universidad o escuela secundaria. Cuando era estudiante de primer año y tomé un curso de álgebra en la universidad, no podía entender la razón de aprender matrices. Las únicas preguntas que tenía en mente eran: “¿Por qué a la gente le importan las matrices? ¿Por qué tenemos que aprender a multiplicarlas y encontrar las matrices inversas?”, a pesar de ser un estudiante destacado. Aunque luego me enteré. Entonces, déjame mostrarte lo poderosas que pueden ser las matrices.

A primera vista, una matriz es solo una tabla de números. No parece impresionante y aún no está claro por qué necesitamos representar los números de esta manera.

Tal vez haya escuchado sobre la aplicación simple y evidente de las matrices: se utilizan para resolver sistemas lineales de ecuaciones, que generalmente son de gran tamaño (incluso del orden de millones). En resumen, cada sistema de ecuaciones lineales se puede representar como A x = b , donde:

• A es la matriz de coeficientes
• x es una matriz columna de las incógnitas
• b es la matriz columna, que contiene las constantes de los lados derechos de las ecuaciones

En realidad, las matrices son algo más que una simple tabla de números. Es una herramienta “mágica” que puede ayudarte a modificar espacios.

Consideremos el siguiente triángulo de tres vectores en el sistema de coordenadas cartesianas:

¿Qué pasa si queremos rotar este triángulo 90 grados? La forma más fácil de lograr esto es… ¡usar matrices! Primero, escribamos las coordenadas de los vectores correspondientes como una matriz, sabiendo que a = (0, 1), b = (2, -1), c = (-2, 0):

La matriz de rotación por ángulo α se ve de la siguiente manera:

Por lo tanto, la matriz de rotación de 90° es

Para rotar nuestro triángulo 90°, necesitamos encontrar el producto matricial de R y A :

Entonces, los vectores transformados son (-1, 0), (1, 2) y (0, -2):

Entonces, este es un ejemplo simple pero impresionante de cómo las matrices pueden ayudarnos a rotar vectores en una base específica de vectores. En realidad, las matrices pueden hacer mucho más que rotar. Por ejemplo, encontremos el producto de una matriz aleatoria invertible (llamémosla S ) y nuestra matriz A :

Entonces, en la siguiente imagen, puedes ver el triángulo original estirado. Las líneas de cuadrícula de origen están punteadas y las líneas grises representan las líneas de cuadrícula estiradas.

Como puedes ver, podemos modificar figuras y superficies usando matrices. Para aplicar múltiples modificaciones a los vectores, debe multiplicarlas en la vista izquierda de la expresión. Por lo tanto, si desea estirar nuestro triángulo y luego girarlo, la matriz de vectores modificados se verá de la siguiente manera:

Aquí está el resultado en el gráfico:

Entonces, si desea devolver nuestro nuevo triángulo a su estado original, debe aplicar las matrices inversas:

Como puede ver, las matrices pueden describir cosas intuitivamente comprensibles de una manera matemática precisa. ¡Además, el conjunto de todas las matrices invertibles de 2×2 forma un grupo bajo la multiplicación ! Si no sabe qué son los grupos, consulte mi artículo sobre ellos .

De hecho, el conjunto de matrices invertibles 2×2 (llamémoslo M) satisface todas las propiedades de un grupo:

1. Para cualesquiera dos matrices en M, su producto pertenece a M. Es obvio que el producto de matrices es una matriz, pero ¿será siempre una matriz invertible? Entonces, dado que det(AB) = det(A) det(B) y tanto det(A) como det(B) no son iguales a 0, det(AB) tampoco es igual a 0 y AB es una matriz invertible
2. Para cualesquiera tres matrices en M, no importa en qué orden apliques la multiplicación. Entonces, (AB) C = A (BC) ¡Cuidado! Para matrices arbitrarias, AB ≠ BA
3. La matriz identidad 2×2 I es un elemento neutral en este conjunto.
4. Para cualquier matriz A invertible de 2×2, siempre hay una matriz inversa A⁻¹ y A⁻¹ A = AA⁻¹ = I

Referencias

[1] T. Panov (2019). Álgebra Lineal y Geometría

[2] A. Kostrikin, Y. Manin. Álgebra Lineal y Geometría

[3] Socrática. curso de álgebra abstractahttps://www.socratica.com/subject/abstract-algebra

[4] 3Azul1Marrón. Multiplicación de matrices como composiciónhttps://www.youtube.com/watch?v=XkY2DOUCWMU