Prueba sencilla

Un número par más un número par da como resultado un número par.

Un número impar más un número impar da como resultado un número impar.

Un impar más un par hace un impar.

Probablemente te enseñaron esa simple regla en la escuela primaria. Yo era. Y parece ser cierto. Pruébelo varias veces, con algunos números diferentes, y siempre funciona. (Si no es así, revisa tu trabajo. Si aún no funciona, publícalo).

Pero, ¿funciona para todos los números? No importa cuán grande?

La diferencia entre las matemáticas que normalmente nos enseñan en la escuela y las matemáticas que hacen los matemáticos es esta:

1. En la escuela, nos enseñan este tipo de reglas para que podamos usarlas cuando 'hacemos matemáticas'.
2. Los matemáticos intentan descubrir cuáles son las reglas y proponen los argumentos más concisos y elegantes posibles para mostrar por qué esas reglas son (o no) verdaderas.

Como Paul Lockhart describe de manera persuasiva (y con humor) en su ensayo A Mathematician's Lament, el arte de encontrar la verdad es matemática verdadera y muy divertida. Y no tiene que ser las pruebas formales y rígidas que a veces se enseñan en la escuela. Solo se trata de buscar patrones y hacer un argumento elegante.

En lugar de decirles a los jóvenes estudiantes reglas sobre sumas de números pares e impares, ¿qué pasaría si primero les pidiéramos que averiguaran cuáles podrían ser las reglas y luego les pidiéramos que propongan una explicación de por qué es una regla?

Aquí hay un ejemplo del tipo de pensamiento que podría incluirse en una 'prueba', que es solo una de las muchas soluciones posibles:

Primero, no contemos con dígitos abstractos sino con objetos tangibles, en este caso cuadrados. Aquí hay cinco cuadrados:

[imagen de varios cuadrados colocados arbitrariamente]

Dado que un número par significa que se puede dividir por dos, sabemos que podemos organizar un número par de cuadrados en dos filas de la misma longitud, y los extremos serán 'cuadrados':

Un número impar, por otro lado, siempre tendrá un final 'irregular' donde las filas no se alinean:

Al reorganizar estas imágenes, ahora podemos ver que nuestras reglas parecen ser ciertas. Dos números pares, colocados uno al lado del otro, tienen extremos pares.

Al voltear un número impar y unir los dos extremos irregulares, dos números impares también tienen extremos pares.

Pero uno impar y uno par, no importa cómo volteemos y rotemos, nunca nos da extremos pares.

Esto será cierto sin importar cuán largos sean nuestros números, porque lo único que importa es si los extremos son irregulares o cuadrados. (Esos relámpagos están destinados a sugerir una distancia arbitraria... imagina que hay miles de cuadrados allí).

QED

¿Es esta una prueba matemática válida? ¿Importa? Un niño, o un grupo de niños, que han dedicado tiempo a pensar en este tipo de 'pruebas' desarrollarán una comprensión y tal vez un entusiasmo por las matemáticas que ninguna cantidad de ejercicios de memoria les dará. Más importante aún, comenzarán a aprender “qué hacer cuando no sabes qué hacer”. Es decir, la confianza para resolver problemas que no has visto antes, en lugar de simplemente seguir los pasos de los problemas que tienes.