¿Qué sucede con 2^n+1 números?

Estaba escribiendo algunos números de la forma 2^n + 1 junto a su descomposición en primos cuando vi un patrón curioso en 2⁵+1 .

2⁵ + 1 = 3 × 11 = 3 ( 2 × 5 + 1 )

Uno de los factores primos ( 11 en este caso) era exactamente igual al número original transformando la potencia en una multiplicación.

Me dije irónicamente “interesante” y continué con los siguientes números.

2⁶ + 1 = 5x13 = 5 ( 2x6 + 1 )

El patrón vuelve a aparecer justo en el siguiente n .

Decidí averiguar dónde se detendrá esta coincidencia. Pero descubrió que el patrón sigue apareciendo regularmente. Después de n=10 , tuve que usar mi computadora portátil para calcular los factores primos.

• 2⁹ + 1 = 3³ x 19 = 3³ ( 2 x 9 + 1 )
• 2¹⁴ + 1 = 5 × 29 × 113 = 5 ( 2 × 14 + 1 )
• 2¹⁸ + 1 = 5 x 13 x 37 x 109 = 5 x 13 ( 2 x 18 + 1 ) x 109
• 2²¹ + 1 = 3² x 43 x 5419 = 3² ( 2 x 21 + 1 ) x 5419
• 2²⁶ + 1 = 5 x 53 x 157 x 1613= 5 ( 2 x 26 + 1 ) x 157 x 1613
• 2²⁹ + 1 = 3 x 59 x 3033169 = 3 ( 2 x 29 + 1 ) x 3033169
• 2³⁰ + 1 = 5² x 13 x 61 x … = 5² x 13 x ( 2 x 30 + 1 ) …
• 2³³ + 1 = 3² x 67 x … = 3² ( 2 x 33 + 1 ) …
• 2⁴¹ + 1 = 3 x 83 x ….= 3 ( 2 x 41 + 1 ) …
• 2⁵⁰ + 1 = 5³ x 101 x ….= 5³ ( 2 x 50 + 1 ) …
• 2⁵³ + 1 = 3 x 107 x … = 3 ( 2 x 53 + 1 ) …
• 2⁵⁴ + 1 = 5 x 109 x ….= 5 ( 2 x 54 + 1 ) …

Por ejemplo, 2¹⁰⁰⁰⁰⁰¹ + 1 tiene entre sus factores primos 2000003.

Volví a los números más pequeños que n=5 con los que comencé, y el patrón estaba allí para n=1 y n=2 .

• 2¹ + 1 = 2x1 + 1
• 2² + 1 = 2x2 + 1

¿Quizás la razón es trivial y simplemente no me veo bien?

Incluso le pregunté a ChatGPT en algún momento (que, por cierto, es bastante bueno en los estilos conversacionales).

¿Es este patrón una coincidencia? No me parece. No se repetiría indefinidamente.

¿Es posible que haya algún resultado matemático detrás de eso, que los matemáticos pasaron por alto hasta ahora? No puedo imaginar eso.

O tal vez alguien ya lo vio y pensó que no tiene beneficios. Bueno, todo resultado matemático es importante, no podemos evaluar su impacto por adelantado.

¿Es banal? Tal vez.

¿Es un resultado conocido? Posible.

Comparte si tienes alguna idea. De lo contrario, hagamos una nueva conjetura