Nombrado en honor al matemático británico George Green, el Teorema de Green es un teorema por excelencia en el cálculo, la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio riguroso del cambio continuo y las funciones. Este artículo explora el cálculo sobre el espacio euclidiano tridimensional R³ y tiene como objetivo cerrar la brecha entre las matemáticas escolares y universitarias.

El primer teorema en el estudio del Cálculo Vectorial reduce una integral de área a una integral de línea. Relaciona una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C con una integral doble sobre la región plana D limitada por C.

la intuición

Para entender esto en términos simples, piense en el flujo de un fluido en un plano bidimensional. Imagine que el fluido fluye dentro de una región y su flujo se describe mediante un campo vectorial. La curva que delimita esta región puede considerarse como una barrera y estamos interesados ​​en la circulación neta del fluido alrededor de esta barrera.

La intuición aquí es que la circulación neta alrededor de una curva cerrada está determinada por el "comportamiento rotacional" (rotación) del campo vectorial dentro de la región que encierra. Si el rotacional es positivo, significa que el campo gira en la misma dirección que la orientación de la curva (en sentido antihorario), lo que contribuye a la circulación. Si el rizo es negativo, se opone a la orientación de la curva, reduciendo la circulación.

Área de una elipse

Una aplicación del teorema de Green se encuentra en las áreas de computación. La siguiente es el área de la región D

Nuestro objetivo es elegir funciones arbitrarias P y Q para que obtengamos lo siguiente.

Hay un puñado de posibilidades útiles.

Como podemos ver, estas diferentes expresiones dan todas la misma área.

Para calcular el área con el Teorema de Green, elegiremos la primera posibilidad.

C denota la curva de la ecuación de elipse. Lo parametrizaremos de la siguiente manera.

La curva va de 0 a 2pi, la integral ahora es

Entonces podemos sustituir x = acost(t) así como la derivada de y con respecto a t.

Como ejercicio, trate de calcular la integral y la respuesta debe ser la siguiente:

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