$A$est une matrice réelle et pour certains$k\geq 2,A^{k}$est similaire à une matrice orthogonale, comment prouver$A$est aussi similaire à une matrice orthogonale ?

Aug 17 2020

Ma tentative.

$A^{k}=POP^{-1}$.Ici$O$est une matrice orthogonale.Je veux trouver une matrice orthogonale$O_{1}$et$O_{1}^{k}=O.$Je pense que cela pourrait être fait parce que la matrice inversible a toujours une "racine carrée".Mais même si cela pouvait être fait et$A^{k}\sim O_{1}^{k}.$Cela ne donnera toujours aucune information sur$A$.Alors, comment utiliser les informations fournies par une forme canonique de$A^{k}$pour trouver des informations sur$A$?

Nouvelle tentative.

Je pense que je devrais peut-être considérer ce problème sur$\mathbb{C}.$Alors$O$est une matrice normale complexe spéciale. Donc, par théorème spectral$O$est diagonalisable sur$\mathbb{C}$.Ça signifie$A^{k}$est diagonalisable et son module des valeurs propres est 1.So est A.So$A\sim M=diag\{e^{i\theta_{1}},\cdots,e^{i\theta_{s}},\lambda_{s+1},\cdots,\lambda_{n}\}.$Il est clair que M est semblable à une matrice orthogonale sur$\mathbb{C}.$

Cette preuve est assez étrange puisque nous ne considérons souvent que$\mathbb{R}$quand on parle de matrice orthogonale et le problème lui-même n'indique pas le champ que nous utilisons.

Existe-t-il une meilleure solution ?

Réponses

1 user8675309 Aug 17 2020 at 05:50

je suppose$P$est une matrice à valeurs réelles. (Si cela nécessite$\mathbb C$le dessous peut être légèrement modifié pour contempler à la place des formes hermitiennes.)

Considérons l'espace vectoriel de coordonnées donné par$V=\mathbb R^n$et un opérateur linéaire sur cet espace donné par$T:= P^{-1}AP$. Il suffit de montrer que$T$est similaire à une matrice orthogonale réelle. Depuis$T^k$n'est pas singulier, il en va de même$T$.

Avec$\langle, \rangle$désignant le produit intérieur réel standard, nous définissons la forme bilinéaire symétrique personnalisée suivante . Pour$v,v' \in V$

$\langle v, v' \rangle_c := \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$.
Il est immédiat que cette forme est définie positive. Avis supplémentaire

$\langle Tv, Tv' \rangle_c $
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle $
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=0}^{k-2}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle T^{k}v, T^{k}v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=1}^{k-1}\langle T^{j}v, T^{j}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle v, v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$
$=\langle v,v' \rangle_c $

Cela implique$T$est un opérateur orthogonal par rapport à la forme bilinéaire personnalisée.

Calculez maintenant l'image de$T$par rapport à une base bien choisie
$T\mathbf B=\mathbf BQ$
où$\mathbf B$est sélectionné pour être une base orthonormée par rapport à la forme bilinéaire personnalisée et$Q$est une matrice. Puisque notre espace vectoriel est$V=\mathbb R^n$, on remarque que$\mathbf B$peut également être interprété comme une matrice inversible.

$\langle v, v' \rangle_c = \langle Tv, Tv' \rangle_c \longrightarrow$ $Q$est orthogonal par rapport au produit scalaire standard .

Pour terminer
$T =T\big(\mathbf B\mathbf B^{-1}\big) = \big(T\mathbf B\big)\mathbf B^{-1}= \big(\mathbf BQ\big)\mathbf B^{-1}= \mathbf BQ\mathbf B^{-1}$

Donc$T$est similaire à une matrice orthogonale

justification détaillée que$Q^TQ = I$:
$v = \mathbf B\mathbf x$et$v' =\mathbf B y$;
$\mathbf w = Q\mathbf x$et$\mathbf z = Q\mathbf y$
$\langle T v, Tv'\rangle_c$
$=\langle T\mathbf B\mathbf x\mathbf , T\mathbf B\mathbf y\rangle_c$
$=\langle \mathbf B (Q\mathbf x), \mathbf B(Q\mathbf y)\rangle_c$
$=\langle \mathbf B \mathbf w, \mathbf B\mathbf z\rangle_c$
$=\langle \sum_{k=1}^n \mathbf b_k w_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\langle \mathbf b_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\sum_{i=1}^n z_i \langle \mathbf b_k , \mathbf b_i \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k\langle \mathbf b_k , \mathbf b_k \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k$
$=\mathbf w^T\mathbf z$
$=\mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
et par un calcul quasi identique$\langle v, v'\rangle_c = \mathbf x^T \mathbf y\longrightarrow \mathbf x^T \mathbf y = \mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
où l'implication suit parce que$\langle Tv, Tv'\rangle_c = \langle v, v'\rangle_c$
Étant donné que ce qui précède vaut pour la sélection de$\mathbf x$et$\mathbf y$nous concluons que$Q$est orthogonal par rapport au produit scalaire standard .

note
Ce qui précède donne également une preuve du pourquoi$M^k = I$implique que$M$est diagonalisable sur$\mathbb C$, comme$I$n'est qu'un cas particulier de matrice orthogonale réelle. Ce qui précède montre que$M$est similaire à une matrice orthogonale réelle qui, par théorème spectral, est similaire à une matrice diagonale (sur$\mathbb C$). La preuve standard de ce résultat que vous verrez sur ce site utilise un argument polynomial minimal, bien que le polynôme minimal ne semble pas s'appliquer également à la question d'OP.