À propos de l'expression d'algèbres comme des produits tensoriels en tant que produit cartésien de champs

Question

Je traite de cette question dans le cours Introduction à la théorie de Galois:

Lesquelles des algèbres suivantes sont des champs? Produits de champs? Décrivez ces champs.

1. $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \space \otimes_{\mathbb{Q}} \space \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $
2. $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}) \space \otimes_{\mathbb{Q}} \space \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $
3. $\mathbb{F}_2(\sqrt{T}) \space \otimes_{\mathbb{F}_2(T)} \mathbb{F}_2(\sqrt{T}) $
4. $\mathbb{F}_4(\sqrt[3]{T}) \space \otimes_{\mathbb{F}_4(T)} \mathbb{F}_4(\sqrt[3]{T}) $

Clarifiant la question, je pourrais dire:

$.\otimes_{A}.$ est une notation utilisée pour le produit Tensor de deux algèbres ou modules sur l'anneau A.

Le produit Tensor est défini avec la propriété universelle dans mon cours.

$\mathbb{F}_2$ et $\mathbb{F_4}$ dénoter $\mathbb{Z}_2$ et $\mathbb{Z}_4$ respectivement.

Mes progrès:

Je sais que toute algèbre finie a un nombre fini d'idéaux maximaux.

Dire $m_1,...,m_k$ être les idéaux maximaux de notre algèbre finie A. Alors $A \cong \frac{A}{m_1^{n_1}}\times ...\times \frac{A}{m_r^{n_r}}$ pour certains $n_i\in\mathbb{N}$.

Donc si $\space $$\ forall i \ space; n_i = 1 $ , alors A est un produit de champs.

Il y a aussi quelques théorèmes utiles que j'ai mentionnés, dans mon document de réponses, qui sont liés ci-dessous dans ma réponse à ce problème.

J'ai écrit toutes mes réponses détaillées dans le document suivant, mais je n'en suis pas tout à fait sûr (en particulier pour les parties 3 et 4).

Cliquez ici pour accéder au lien du document google.

Après avoir vu mes réponses, j'aimerais ajouter ce qui suit:

Dans la partie 3, j'ai montré dans mes réponses que:

$ \ mathbb {F} _2 (\ sqrt {T}) \ space \ otimes _ {\ mathbb {F} _2 (T)} \ mathbb {F} _2 (\ sqrt {T}) \ cong \ frac {\ mathbb { F} _2 (\ sqrt {T}) [U]} {(U- \ sqrt {T}) ^ 2} $ où $ U $ est une variable. Ce n'est donc pas un champ à cause de la présence d'éléments nilpotents comme $ U- \ sqrt {T} $ . Mais je ne peux pas montrer que si cela peut être un produit de champs ou non?

Toujours dans la partie 4, j'ai montré dans mes réponses que:

$ \ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) \ space \ otimes _ {\ mathbb {F} _4 (T)} \ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) \ cong \ frac {\ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) [U]} {U ^ 3-T} $

Mais maintenant je suis coincé et je ne peux plus dire sur le produit des champs.

Toute aide menant à une progression serait grandement appréciée.

Answer 1

Pour 3, comme vous le dites, vous avez un élément nilpotent dans le produit tensoriel. Cela ne peut pas se produire dans un produit de champs. Si nous avons$R=F_1\times\cdots\times F_n$, un produit de champs, et $(a_1,\ldots,a_n)^2$ est zéro dans $R$ puis $a_i^2=0$ dans chaque $F_i$ pour que $a_i=0$ (comme $F_i$est un champ). Dans cet exemple, alors le produit tensoriel n'est pas un produit de champs.

Pour les extensions de champ $F_1/F$, $F_2/F$ puis produit tensoriel $F_1\otimes_F F_2$ ne peut échouer à être un produit de champs que lorsque les deux $F_1/F$ et $F_2/F$ sont des extensions inséparables, et c'est précisément le cas ici.

Mais dans le cas 4, vous avez des extensions séparables. En effet$F_1/F$ est une extension Kummer ici comme $F=\Bbb F_4(T)$ a trois racines cubiques de l'unité: $1$, $\omega$ et $\omega^2$. ensuite$$F_1\otimes _F F_1\cong F_1\times F_1\times F_1$$ via $$a\times b\mapsto (ab,a\sigma(b),a\sigma^2(b))$$ où $\sigma:F_1\to F_1$ est-ce que l'automorphisme prend $\sqrt[3]T$ à $\omega\sqrt[3]T$.