Abaissez un polytope dans l'eau $-$ les sommets au niveau de l'eau sont-ils connectés à ceux du bas?
Supposons que nous prenions un polyope convexe$P$ et un visage $A$ avec des sommets $a_1,\ldots, a_n$. Nous tenons le polytope avec$A$ affleurant la surface et abaissez-la lentement, en gardant $A$parallèle à la surface. Nous continuons à baisser jusqu'à ce que le niveau d'eau atteigne un sommet$b_1$ n'appartenant pas à $A$. Puis laissez$b_1,\ldots, b_m$être tous les sommets au niveau de l'eau. Je me demande:
Est-ce que chaque $b_i$ joint par un bord à certains $a_i$?
Cela semble physiquement évident. Mais il en va de même pour de nombreux faits sur les polytopes, tels que les définitions des inégalités linéaires / coque convexe étant équivalentes.
Si vous considérez la partie du polytope entre le niveau d'eau et le plan parcouru par $A$ vous obtenez un polytope plus petit $Q$. Ce$Q$ a tout $a_i,b_j$ comme des sommets mais peuvent avoir des sommets supplémentaires créés lorsque les arêtes de $A$traverser l'eau. Néanmoins tous les sommets sont contenus dans l'un des deux plans. Cela suggère la question peut-être plus facile suivante.
Supposer $P_1,P_2$ sont deux plans parallèles, et $P$ est un polytope dont chaque sommet est soit $P_1$ ou $P_2$. Chaque sommet est-il$P_1$ joint par une arête à un sommet de $P_2$?
Réponses
La réponse à votre deuxième question est Oui (tout comme la réponse à la première).
En général, pour chaque sommet d'un polytope (pleine dimension) $P\subset\Bbb R^d$, les directions des arêtes incidentes sur ce sommet couvrent l'ensemble $\Bbb R^d$.
Si un sommet dans $P_1$ aurait des arêtes uniquement vers les autres sommets de $P_1$, alors la travée serait de dimension $\le \dim(P_1)= d-1$, par conséquent, pas tous $\Bbb R^d$.