Aborder la physique en utilisant une analyse ordinaire plutôt qu'une analyse non standard
Autant que je sache, en physique, le calcul est abordé en utilisant une analyse non standard dans laquelle $dx$, $dy$, etc. (infinitésimales) sont traités comme des quantités fixes, extrêmement petites plutôt que comme l'approche standard d'analyse utilisant des limites où ils sont traités comme quelque chose qui s'approche $0$.
Je comprends que l'approche non standard est très intuitive et facile à comprendre. En fait, j'avais fait du calcul via l'approche non standard jusqu'à il y a quelques jours lorsque j'ai rencontré les questions philosophiques liées aux infinitésimales. Je suis devenu extrêmement confus à cause de cette approche et quand j'ai abordé le calcul en utilisant des limites, j'ai eu l'impression d'avoir acquis un tout nouveau niveau de compréhension et de clarté conceptuelle.
Maintenant, en physique, pour une fonction $f$, $f'(x)$ ou $\dfrac{df}{dx}$ est interprété comme le taux de changement de $f(x)$ avec un très petit changement dans $x$, c'est à dire $dx$. Il est également interprété comme approximativement la pente de la tangente à la courbe de$f$ à $(x,f(x))$. Cette approche et cette intuition géométrique sont également utilisées pour dériver le théorème fondamental du calcul qui stipule que si$F(a)$ donne l'aire sous la courbe de $f(x)$ de $x = 0$ à $x = a$, c'est à dire $$F(a) = \int_0^a f(x)dx$$ Ensuite, $$\int_a^bf(x)dx = \int_0^bf(x)dx - \int_0^af(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\Bigg|_a^b$$ où : $$F'(x) \text{ or } \dfrac{dF}{dx} = f(x)$$ L'approche non standard est également utilisée pour dériver certaines formules comme celle du travail qui est dérivée comme suit:
- Pour un déplacement infinitésimal $dx$, le travail infinitésimal effectué ie $dW$ est $F_2(x)\cdot dx$
- La quantité totale de travail effectué, c'est-à-dire $W$, est $\int_a^bF_2(x)\cdot dx$ (Remarque: ici, $F_2(x)$ désigne la force subie par la particule en position $(x)$. Par exemple, si nous parlons de force électrostatique,$F_2(x) = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0x^2}$.)
Donc, fondamentalement, la plupart des calculs utilisés en physique sont abordés en utilisant des analyses infinitésimales et non standard.
Mais l'analyse standard me semble beaucoup plus rigoureuse et a beaucoup plus de sens. J'ai demandé à quelques amis qui ont demandé à leurs professeurs comment on peut utiliser l'analyse standard en physique au lieu de l'analyse non standard, mais aucun des professeurs ne semblait s'en soucier.
Alors, j'aimerais savoir comment je peux aborder la physique via l'analyse standard.
PS: Je suis actuellement en 10 e année et je n'ai encore couvert que les bases de la 11 e année. Une réponse que je peux comprendre avec peu de connaissances en mathématiques avancées serait appréciée.
Edit: Je suis très reconnaissant pour les deux réponses que j'ai déjà reçues. J'ai imprudemment supposé que l'analyse non standard et l'utilisation heuristique des infinitésimales sont une seule et même chose, ce qui n'est pas le cas, comme l'ont souligné les utilisateurs Qmechanic et PM 2Ring . Je voudrais préciser que chaque fois que j'utilisais le terme `` analyse non standard '', je faisais en fait référence au traitement des$dy$, $dx$, etc. en tant que nombres réels, très petits et $\dfrac{dy}{dx}$ en tant que ratio ...
Réponses
Donc, fondamentalement, la plupart des calculs utilisés en physique sont abordés en utilisant des analyses infinitésimales et non standard.
Cette prémisse est fausse. Alors que les arguments de physique sur les infinitésimaux peuvent ressembler à des arguments typiques de «l'analyse non standard», la physique élémentaire n'opère généralement pas à des niveaux de rigueur où vous pouvez clairement décider si elle utilise une analyse non standard ou non. La physique ne s'intéresse pas aux questions d'analyse fondamentales, et par exemple, le dérivé d'une fonction est une approximation de sa pente, quelle que soit la fondation que vous utilisez (cela peut être plus ou moins difficile à dériver en fonction de votre fondation, mais c'est quand même toujours vrai).
Si vous recherchez la rigueur, il existe souvent une interprétation tout aussi valable des «infinitésimales» physiques en termes de formes différentielles standard , par exemple$\mathrm{d}W = F(x)\mathrm{d}x$ est simplement la définition d'une forme 1 appelée $\mathrm{d}W$, dont l'intégrale sur les chemins $\gamma$ est défini comme le travail $W[\gamma] = \int_\gamma \mathrm{d}W$ sur le chemin.
Il n'y a pas de différence de rigueur entre l'analyse NSA et standard. (En termes de théorie des modèles, ils sont équiconsistants.) Cependant, la plupart des calculs infinitésimaux que vous voyez dans les articles et livres de physique auraient besoin d'être retravaillés ou légèrement élaborés pour en faire la NSA.
Il est généralement trivial de traduire dans les deux sens entre les deux langues. Les scientifiques et les ingénieurs doivent maîtriser les deux.