approximation fluide incompressible et vitesse fluide vs son
considérons le cas suivant: Un tube droit, avec un débit massique d'eau constant $\dot m_{in}=\dot m_{out}$ , et avec une puissance linéaire qui y entre $\dot Q [\frac W m]$. Et l'eau est la phase liquide dans tout le tube.
Mon professeur nous a dit que dans ce cas le fluide incompressible est une bonne approximation si la vitesse de l'eau est bien inférieure à la vitesse du son. Pouvez-vous m'expliquer pourquoi ce devrait être un bon critère? En particulier, ce qui me trouble, c'est que la densité doit changer en fonction de la région de température.
Réponses
Cela dépend de la vitesse.
En particulier, ce qui me trouble, c'est que la densité doit changer en fonction de la région de température.
Vous avez déclaré que l'eau reste liquide sur toute la longueur du tube, et si vous jetez un œil au tableau des propriétés de l'eau à la pression atmosphérique dans la plage de 32 à 90 degrés Celsius, le changement de densité serait d'environ 3%, donc difficilement compressible.
La définition mathématique de l'incompressibilité de l'écoulement est que la divergence du vecteur vitesse est nulle: $$ \nabla.\vec{V}= \frac{\partial u_i}{\partial x_i}=0 $$
Mais cette définition peut être quelque peu déroutante, par exemple la variation de densité de l'eau à température ambiante est négligeable, comme dans notre exemple précédent. Mais si vous pompez la même eau à des vitesses proches de la vitesse du son spécifique au matériau, le débit est maintenant compressible.
Ainsi, un flux est dit compressible si sa vitesse est d'environ 30% de sa vitesse du son ou de son nombre de Mach $\text{Ma}_{crit} \ge 0.3$.
La vitesse de l'eau du son à 20 degrés C est d'environ $1,480$ m / s et la vitesse correspondante à $\text{Ma} = 0.3$ est $v = 444$ m / s, ce qui n'est pas difficile à réaliser avec un jet d'eau.
Ainsi, dans votre problème, vous pouvez calculer la plage de vitesses que vous pourriez avoir et comparer avec $\text{Ma}_{crit}$, pour vérifier si votre débit de fluide est approximativement compressible ou incompressible.
Remarque: Cette réponse est basée sur la discussion de Rodriguez sur l'approximation incompressible en dynamique des fluides computationnelle, fortement recommandée.
La question confond deux concepts distincts. L'un est l'idée d'écoulement incompressible, et l'autre est l'écoulement à densité constante.
Le professeur se réfère à un critère qui permet d'utiliser les équations d'écoulement incompressibles, sans apport de chaleur. Lorsque vous dérivez les équations de flux plus générales, en utilisant la deuxième loi de Newton, la conservation de la masse et l'équation d'état, vous constatez qu'il existe un paramètre important appelé le nombre de Mach, M, défini comme la vitesse du fluide divisée par la vitesse locale du son. Plus encore, M apparaît comme M ^ 2, et ce dernier apparaît souvent en des termes tels que (1 - M ^ 2). Lorsque vous étudiez ces équations, vous constatez que si vous négligez M ^ 2 par rapport à l'unité, vous constatez qu'il ne peut y avoir de variation de densité. Ainsi, si M ^ 2 vaut << 1, vous pouvez utiliser les équations de flux incompressibles, sans ajout de chaleur. Pratiquement cela signifie pour des écoulements où environ M ^ 2 <0,1 ou M <0,3.
Avec l'ajout de chaleur, vous devez invoquer en plus des principes mentionnés ci-dessus l'équation d'énergie. Il s'agit d'un ensemble beaucoup plus compliqué, et il est souvent avantageux de rechercher des simplifications moins précises, mais très utiles, à moins qu'il ne soit évident que les changements de densité - pour une raison quelconque - sont des caractéristiques importantes du flux.