Attente conditionnelle du mouvement brownien par projection

Question

Suppose que $W_s,W_t$ sont des mouvements browniens standard avec $s<t$. Trouvez ce qui suit$$E[W_s | W_t]=? $$L'astuce est d'utiliser la méthode de projection. Si je comprends bien, nous avons la propriété suivante par projection$$E[W_sZ]=E[YZ] $$ pour $Y=E[W_s|W_t]$ et $Z$ est une variable aléatoire mesurable sous la même filtration qui génère $W_t$. Comment utiliser cette propriété et procéder? Tout indice est apprécié.

PS Je ne comprends pas la solution donnée ici et préférerais comprendre en utilisant la méthode de projection (si possible).

Answer 1

L'idée principale est que nous allons deviner que $Y=\mathbb{E}[W_s | W_t] = \beta W_t$ où $\beta$ est une constante (non aléatoire) qui ne dépend que de $s$ et $t$. Ensuite, la méthode de projection nous dit (laisser$Z = W_t$) cette

\begin{align*} \mathbb{E}[W_s W_t] &= \mathbb{E}[Y W_t] \\ &= \beta \mathbb{E}[W_t^2]. \end{align*}

Maintenant nous savons $\mathbb{E}[W_s W_t] = s$ et $\mathbb{E}[W_t^2]=t$, donc l'équation se simplifie en $s = \beta t$ et donc $\beta = \frac st$. Par conséquent, nous concluons que$\mathbb{E}[W_s | W_t] = \beta W_t = \frac st W_t$.