Au moins un sous-groupe cyclique bien défini de $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$, pour prime $p$.

Aug 17 2020

Considérons les entiers de la forme

$\quad pq + 1, \text{where 0 } \lt q \le p $

L'ensemble correspondant de classes de résidus $\{[pq + 1]\}$ former un groupe d'ordre cyclique $p$ avec générateur $[p + 1]$.

Exemple: si $p = 11$ puis $12$ génère un sous-groupe d'ordre cyclique $11$ dans $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$:

$\; {[12]}^1 \equiv \;\;\, 12 \pmod {121}$
$\; {[12]}^2 \equiv \;\;\, 23 \pmod {121}$
$\; {[12]}^3 \equiv \;\;\, 34 \pmod {121}$
$\; {[12]}^4 \equiv \;\;\, 45 \pmod {121}$
$\; {[12]}^5 \equiv \;\;\, 56 \pmod {121}$
$\; {[12]}^6 \equiv \;\;\, 67 \pmod {121}$
$\; {[12]}^7 \equiv \;\;\, 78 \pmod {121}$
$\; {[12]}^8 \equiv \;\;\,89 \pmod {121}$
$\; {[12]}^9 \equiv\; 100 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{10} \equiv 111 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{11} \equiv\;\;\;\, 1 \pmod {121}$

J'ai une preuve directe de ce qui précède en utilisant la théorie de la division euclidienne (représentation), mais je serais intéressé à voir d'autres preuves (ou liens / références). Aussi, le lien wikipedia

$\quad$ Groupe multiplicatif d'entiers modulo $n$

États

... mais même pour le prime $n$ aucune formule générale pour trouver des générateurs n'est connue.

Je suis donc également intéressé par tout progrès partiel réalisé dans ce domaine, en déterminant l'ordre des éléments dans ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$.

Réponses

CopyPasteIt Aug 23 2020 at 12:18

Ici, nous `` modélisons '' le plus grand groupe cyclique $K_{2p}$ généré par $[p-1]$ dans $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$ pour $p \ge 5$.

Le groupe $K_{2p}$ a $2p$ éléments.

Ensemble $k = p-1$, un entier pair.

Définissez une liste de nombres en commençant à $p-1$ et incrémenter de $2p$ tout en restant en dessous $p^2 - 1$,

$\quad G_1: p-1, p-1+2p, p-1+4p, \dots, p-1+(k-1)p$

Maintenant, ajoutez $p$ à chaque numéro pour créer une seconde liste,

$\quad G_2: 2p-1, 2p-1+2p, 2p-1+4p, \dots, 2p-1+kp$

le $\text{[.]}_{\, p^2}$ résidus de l'ensemble des nombres dans $G_1 \cup G_2$ sont exactement les $k$ générateurs pour $K_{2p}$ avoir ordre $2p$.

En continuant, nous définirons une autre liste de nombres en commençant à $p+1$ et incrémenter de $2p$
(de manière équivalente, ajoutez $2$ à chaque numéro de $G_1 \cup G_2$),

$\quad H_1: p+1, p+1+2p, p+1+4p, \dots, p+1+(k-1)p$

Maintenant, ajoutez $p$ à chaque numéro pour créer une seconde liste,

$\quad H_2: 2p+1, 2p+1+2p, 2p+1+4p, \dots, 2p+1+(k-1)p$

le $\text{[.]}_{\, p^2}$ résidus de l'ensemble des nombres dans $H_1 \cup H_2$ sont exactement les $k$ éléments dans $K_{2p}$ avoir ordre $p$.

Depuis $2p - 2k = 2$ il reste deux éléments à prendre en compte dans $K_{2p}$. Mais ce sont les deux éléments$\{[1],[p^2-1]\}$ satisfaisant $x^2 = 1$.


Exemple: pour $p = 11$ spécifier le sous-groupe approprié $K_{22}$ de $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$.

Les éléments d'ordre $22$ consister en

$\quad [10], [32], [54], [76], [98],$
$\quad [21], [43], [65], [87], [109]$

Les éléments d'ordre $11$ consister en

$\quad [12], [34], [56], [78], [100],$
$\quad [23], [45], [67], [89], [111]$

Les éléments d'ordre $2$ consister en

$\quad [120]$

Les éléments d'ordre $1$ consister en

$\quad [1]$