Calculer l'anneau de groupe $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ pour un champ $k$ de caractéristique $0$

Question

Considérons un champ $k$ de caractéristique $0$ et un entier positif $n.$Dans la preuve du théorème 4.19 des polytopes, des anneaux et de la K-théorie de Bruns et Gubeladze, il est dit que nous avons un isomorphisme$k[\mathbb Z / n \mathbb Z] \cong k[x] / (x^n - 1),$ où $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ est le groupe cyclique correspondant au groupe cyclique d'entiers modulo $n;$cependant, j'ai du mal à m'en convaincre. Je crois que le$k$-homomorphisme de l'algèbre $\varphi : k[x] \to k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ induit par la cession $x^m \mapsto \overline m$ est surjectif, où nous notons $\overline m = m \text{ (mod } n),$ alors je voudrais montrer que $\ker \varphi = (x^n - 1),$ mais je n'ai pas pu le faire.

Une fois que cela est établi, je réalise que (comme $k$ a la caractéristique $0$) nous avons ça $x^n - 1 = \prod_{d \,|\, n} \Phi_d(x),$ où $\Phi_d(x)$ est le $d$e polynôme cyclotomique. Par conséquent, le polynôme$x^n - 1$se divise en un produit de polynômes irréductibles relativement premiers par paires; par conséquent, les auteurs affirment que$k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$est le produit tenseur des domaines. Mais je ne vois pas comment$k[x] / (x^n - 1) \cong \otimes_{d \,|\, n} k[x] / (\Phi_d(x)),$ si c'est bien ce qu'affirment les auteurs.

J'apprécierais grandement toute perspicacité, commentaires ou suggestions. Je vous remercie.

Answer 1

À propos de la première question. Le noyau contient$x^n-1$. L'anneau polynomial est PID donc le noyau est généré par un polynôme$f(x)$. Puis le reste$r(x)$ de $f$ une fois divisé par $x^n-1$doit appartenir au noyau. Cette$r(x)$ a un diplôme $<n$. L'algèbre linéaire simple montre alors que$r$ est $0$. Par conséquent, le noyau est généré par$x^n-1$.