Calculer quelques intégrales impliquant les fonctions elliptiques de Jacobi

Aug 18 2020

Je veux évaluer les intégrales suivantes $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}^3(u;k)\text{sn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{1}$$ et $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}(u;k)\text{sn}(u;k)^2\text{cn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{2}$$$\text{sn}$, $\text{dn}$ et $\text{cn}$sont les fonctions snoïdales elliptiques de Jacobi , dnoïdales et cnoïdales ,$K:=K(k)$ est l'intégrale elliptique complète du premier type et nombre $k \in \left(0,1\right)$ est appelé le module.

J'ai déjà consulté la référence $[1]$à la recherche d'une formule qui m'aide, mais je n'ai rien trouvé. Ces intégrales ont-elles une forme explicite? Y a-t-il d'autres références auxquelles je peux me référer pour m'aider?

$[1]$PF Byrd. MD Friedman. Manuel des intégrales elliptiques pour les ingénieurs et les scientifiques. Springer-Verlag New York Heidelberg Berlim,$1971$.

Réponses

1 ParclyTaxel Oct 23 2020 at 15:40

Au moyen des relations fondamentales (B&F 121.00) $\newcommand{sn}{\operatorname{sn}}\newcommand{cn}{\operatorname{cn}}\newcommand{dn}{\operatorname{dn}}$ $$\sn^2u+\cn^2u=1$$ $$k^2\sn^2u+\dn^2u=1$$ nous pouvons transformer la première intégrale donnée en $$\int_0^K\dn u(1-k^2\sn^2u)\sn^2u\,du$$ Par B&F 364.03, nous pouvons réécrire cela comme une intégrale complètement rationnelle, qui est facilement évaluée: $$=2\int_0^1\left(\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2-k^2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^4\right)\frac1{1+t^2}\,dt=\frac{\pi(4-3k^2)}{16}$$ Lorsque nous transformons la deuxième intégrale donnée, nous obtenons $$\int_0^K\dn u(1-\sn^2u)\sn^2u\,du$$ à quel point nous nous rendons compte qu'il ne s'agit que d'un cas particulier de la première intégrale donnée avec $k^2=1$, donc nous obtenons immédiatement le résultat comme $\frac\pi{16}$.