Catégories monoïdales dont le tenseur a un adjoint gauche
Y a-t-il un nom pour les catégories monoïdales $(\mathscr V, \otimes, I)$ tel que $\otimes$ a un adjoint à gauche $(\ell, r) : \mathscr V \to \mathscr V^2$? Ont-ils été étudiés quelque part? Quels sont quelques exemples intéressants?
Quelques remarques: quand $I : 1 \to \mathscr V$ a un adjoint à gauche, alors $\mathscr V$est semi-cartésien, c'est-à-dire que l'unité est terminale. Lorsque$\otimes$ a un adjoint gauche, qui est en outre la diagonale $\Delta : \mathscr V \to \mathscr V^2$, ensuite $\mathscr V$ a des produits binaires.
Je déballerai la définition ici pour rendre la structure plus explicite. Laisser$(\mathscr V, \otimes, I)$ être une catégorie monoïdale. $\otimes$ a un adjoint à gauche si nous avons ce qui suit.
- endofoncteurs $\ell : \mathscr V \to \mathscr V$ et $r : \mathscr V \to \mathscr V$;
- pour chaque paire de morphismes $f : \ell(X) \to Y$ et $g : r(X) \to Z$, un morphisme $\{f, g\} : X \to Y \otimes Z$;
- pour chaque morphisme $h : X \to Y \otimes Z$, morphismes $h_\ell : \ell(X) \to Y$ et $h_r : r(X) \to Z$,
tel que, pour tous $x : X' \to X$, $y : Y \to Y'$ et $z : Z \to Z'$, on a $$y \otimes z \circ \{ f, g \} \circ x = \{ y \circ f \circ \ell(x), z \circ g \circ r(x) \}$$ $$\{ h_\ell, h_r \} = h$$ $$\{ f, g \}_\ell = f$$ $$\{ f, g \}_r = g$$
Réponses
Juste pour nettoyer le $\epsilon$de la place laissée après la réponse de Qiaochu - nous pouvons nous débarrasser des hypothèses supplémentaires. j'écrirai$I$ pour l'unité monoïdale et $1$ pour l'objet terminal.
Suppose que $(\ell,r) \dashv \otimes$. Puis les isomorphismes naturels$A \cong I \otimes A \cong A \otimes I$ donnent lieu, par adjonction, à des cartes $\ell A \to I$ et $r A \to I$, naturel en $A$. Nous avons également une carte des unités$A \to (\ell A) \otimes (r A)$, naturel en $A$. Tensurer et composer, nous obtenons une carte$A \to (\ell A) \otimes (r A) \to I \otimes I \cong I$, naturel en $A$. Autrement dit, nous avons une cocone (avec vertex$I$) sur le foncteur d'identité pour $V$. Il s'ensuit que dans l'achèvement idempotent$\tilde V$ de $V$, il y a un objet terminal (qui doit être un retrait de $I$).
Maintenant, l'achèvement idempotent $\tilde V$ a à nouveau une structure monoïdale $\tilde \otimes$ avec un adjoint gauche $(\tilde \ell, \tilde r)$. Ainsi, la première partie de l'argument Eckmann-Hilton de Qiaochu peut être exécutée$\tilde V$: $I = I \otimes I = (I \times 1) \otimes (1 \times I) = (I \otimes 1) \times (1 \otimes I) = 1 \times 1 = 1$ (dans la troisième expression, les produits existent de manière triviale, et dans la quatrième, le produit existe parce que $\otimes$conserve les produits). Autrement dit, nous devons avoir$I_{\tilde V} = 1_{\tilde V}$. Mais$I_{\tilde V}$ est l'image de $I_V$ dans $\tilde V$, et l'inclusion dans l'achèvement idempotent reflète les objets terminaux. Par conséquent$V$ a un objet terminal, et $1_V = I_V$.
Ensuite, comme observé dans les commentaires ci-dessus, la deuxième partie de l'argument Eckmann-Hilton de Qiaochu peut être exécutée en $V$: $A \otimes B = (A \times 1) \otimes (1 \times B) = (A \otimes 1) \times (1 \otimes B) = A \times B$ (dans la deuxième expression, les produits existent de manière triviale, et dans la troisième, le produit existe parce que $\otimes$conserve les produits). Autrement dit, les produits binaires existent dans$V$ et d'accord avec $\otimes$. En fait, le foncteur d'identité est un foncteur monoïdal oplax de$(V,\otimes)$ à $(V,\times)$, dont l'argument montre qu'il est en fait monoïdal fort. Ainsi$(V,\otimes) \simeq (V,\times)$ en tant que catégories monoïdales.
Si $\otimes : V \times V \to V$ a un adjoint à gauche et $V$ a des produits finis alors $\otimes$ les préserve dans le sens où la carte naturelle
$$(X \times Y) \otimes (Z \times W) \to (X \otimes Z) \times (Y \otimes W)$$
est un isomorphisme. Par une version monoïdale-catégorique de l'argument Eckmann-Hilton, il me semble que cela implique que$\otimes$est le produit. Explicitement, si nous laissons$1_{\times}$ désignent l'objet terminal et $1_{\otimes}$ désignent l'unité monoïdale alors on obtient des isomorphismes
$$1_{\otimes} \cong 1_{\otimes} \otimes 1_{\otimes} \cong (1_{\otimes} \times 1_{\times}) \otimes (1_{\times} \times 1_{\otimes}) \cong (1_{\otimes} \otimes 1_{\times}) \times (1_{\times} \otimes 1_{\otimes}) \cong 1_{\times} \times 1_{\times} \cong 1_{\times}$$
donc $1_{\otimes} \cong 1_{\times}$(et cet isomorphisme est unique s'il existe donc nous n'avons même pas besoin de nous soucier autant de la naturalité). Maintenant, nous pouvons abandonner les indices scandaleux et nous référer simplement à$1$. Cela donne un isomorphisme naturel
$$X \otimes Y \cong (X \times 1) \otimes (1 \times Y) \cong (X \otimes 1) \times (1 \otimes Y) \cong X \times Y$$
pour toute $X, Y$. En fait, je ne suis pas sûr que cet argument montre que l'associateur et l'uniteur de$\otimes$ correspond à l'associateur et à l'unitateur du produit, mais je suppose qu'une version plus élaborée de cet argument le fait.
Je ne sais pas si c'est possible que $V$n'a pas de produits finis. (Il y avait auparavant un argument ici impliquant la convolution de jour, mais Tim a souligné des lacunes dans les commentaires.)