Cette approche est-elle correcte pour trouver le plus grand ensemble ouvert sur lequel cette fonction est analytique
Cette question faisait partie de ma mission en analyse complexe.
Trouver le plus grand ensemble ouvert sur lequel$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $est analytique.
J'ai écrit$F(t)= \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $puis informatique$\dfrac{F(t+h)-F(t)}{h}$. Puis dans$F(t+h)$j'aurai$\mathrm{d}(t+h)$que je mets égal à$\mathrm{d}t+\mathrm{d}t$. Donc, je reçois$3$intégrales.
Mais il y a confusion : la limite de$F(t)$est$0$à$1$plus de$\mathrm{d}t$mais à cause de$\mathrm{d}(t+h)$à l'intérieur de l'intégrale, je reçois la limite de$\mathrm{d}h$également égal à$0$à$1$et puis je mettrai la limite$h \rightarrow0$.
Après cela, seuls les calculs restent. Alors, est-ce que mon approche est correcte ? Si ce n'est pas le cas, veuillez me dire quelle est l'erreur et quelle serait la bonne approche.
Merci!!
Réponses
Vous pouvez utiliser la règle de Leibniz pour les intégrales paramétriques : Si$D\subseteq\mathbb C$est ouvert,$f:[a,b]\times D\to\mathbb C$est continue, et$f_t(z):=f(t,z)$est analytique sur$D$pour tous$t\in[a,b]$, alors
$$F(z):=\int_a^b f(t,z)\mathrm dt$$
est analytique sur$D$. Dans votre exemple précis,$f(t,z)=\frac{1}{1+tz}$, qui est analytique sur$\mathbb C\backslash(-\infty,-1]$pour tous$t\in[0,1]$, puisque$f_t$est analytique partout sauf à$z=-\frac{1}{t}$. Donc l'intégrale en question est analytique sur le domaine que j'ai mentionné, et elle n'est pas définie en dehors de ce domaine, de sorte que ce domaine est aussi le plus grand sur lequel elle est analytique.