Champs de Dirac: les opérateurs de création de particules et d'antiparticules agissent-ils différemment sur le vide?
Étant donné un champ de Dirac $$\Psi(x):=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\delta\left(p_0-\omega(\mathbf{k})\right)\sum_s\left(a_s(k)u_s(k)e^{-ikx}+b^\dagger_s(k)v_s(k)e^{ikx}\right)$$ avec les opérateurs de création $a^\dagger_s(k),b^\dagger_s(k)$ pour les particules et les antiparticules respectivement, comment ces opérateurs agissent-ils sur le vide?
En particulier, est-il vrai que $|k\rangle=a^\dagger_s(k)|0\rangle=b^\dagger_s(k)|0\rangle$?
Réponses
Ah, je pense que je comprends votre question maintenant et je pense que c'est une simple question de notation. Les états des particules uniques pour les particules et les antiparticules doivent être désignés différemment, c'est-à-dire qu'essayer d'être aussi proche de votre notation donnerait quelque chose comme
$$|k,s\rangle \equiv a^\dagger_s(k)|0\rangle \ \ \ \ , \ \ \ \ |\tilde{k},\tilde{s}\rangle \equiv b^\dagger_s(k)|0\rangle \ .$$Et toutes les relations de commutation habituelles sont les mêmes. Peut-être qu'une notation plus standard serait$|1_{k}\rangle \equiv a^\dagger_s(k)|0\rangle$ et $|\bar{1}_{k}\rangle \equiv b^\dagger_s(k)|0\rangle $, mais je ne suis pas tout à fait sûr de ce qui est le plus courant.
Ce n'est pas vrai que$a^\dagger_s(k)|0\rangle=b^\dagger_s(k)|0\rangle$. De plus, la notation$|k\rangle $c'est ambigu. Il y a l'état$|k,s\rangle =a^\dagger_s(k)|0\rangle$contenant une particule avec impulsion$k$ et état de rotation $s$ et l'état $|\tilde k,\tilde s\rangle =b^\dagger_s(k)|0\rangle$contenant une antiparticule avec impulsion$k$ et état de rotation $s$. Voir par exemple [1], section 5.4.
[1] GBFolland, Théorie quantique des champs. Un guide touristique pour les mathématiciens, Math.Surveys & Monographs 149, AMS, 2008.
L'opérateur $a$est un opérateur d' annihilation de particules , tandis que$b^{\dagger}$est un opérateur de création d'antiparticules. Agissant sur le vide,$a_{s}(k)|0\rangle=0$, mais $b^{\dagger}_{s}(k)|0\rangle\neq0$. En réalité,$b^{\dagger}_{s}(k)|0\rangle$ est un état antifermion à une particule (qui n'est pas le même qu'un état de fermion à une particule).
Le point commun entre $a$ et $b^{\dagger}$n'est pas qu'ils créent chacun une particule. Au contraire, ils peuvent chacun diminuer le nombre de fermions de$1$. (Le nombre de fermions est le nombre de fermions présents, moins le nombre d'antifermions - donc zéro dans le vide.) Agissant sur un état de fermion à une particule$a_{s}(k)|k,s\rangle=|0\rangle$, annihilant un fermion avec l'élan $k$ et tourner $s$. Le champ conjugué$\Psi^{\dagger}$ (ou $\bar{\Psi}=\Psi^{\dagger}\gamma_{0}$) implique $a^{\dagger}$, qui crée un fermion, et $b$, qui annihile un antifermion. Donc,$\Psi^{\dagger}$ augmentera le nombre de fermions de $1$.