Changer le sens de l'intégration

Aug 17 2020

J'ai besoin de changer la direction de l'intégrale:

$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$

D'après ce que je sais, je dois d'abord trouver les formes:

$0.5y^2 = x$ et $\sqrt{3-y^2} =x$

La forme I est une parabole: $y^2 = 2x$
La forme II est un cercle $x^2 + y^2 = 3$ (rayon de $\sqrt{3}$)

Donc, nous dessinons essentiellement des flèches horizontales de la parabole au cercle tout en gardant $0 \leq y \leq 1$.

Quelque chose qui ressemble beaucoup à cette image:

Nous devons dessiner des lignes verticales, cela ressemble à ceci, mais nous avons 3 zones:

  1. Où nous avons frappé la parabole (rouge)
  2. Où nous avons frappé la ligne $y=1$ (vert)
  3. Où nous avons frappé le cercle (bleu)

Et donc ma réponse finale est:

$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$

Ai-je raison pour autant? Si je ne le suis pas, comment puis-je résoudre ce problème? Je me sens coincé car je n'ai aucune idée de comment continuer ... J'apprécierais votre aide! Merci!

Réponses

2 SiongThyeGoh Aug 19 2020 at 19:14

Ce que vous avez fait est correct. Vous avez terminé.

Vérification de votre fonctionnement, $y=1$ couper $0.5y^2=x$ à $x=0.5$. (cela correspond à la région orange.$0.5y^2=x$ est équivalent à $y=\sqrt{2x}$ quand $y>0$.

Également, $y=1$ couper $\sqrt{3-y^2}=x$ à $x=\sqrt2$. $\sqrt{3-y^2}=x$ est équivalent à $y=\sqrt{3-x^2}$ quand $y>0$.

La limite inférieure est toujours $y=0$.

Vous pouvez également l'exprimer de manière compacte comme

$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$

L'évaluation ultérieure dépend du détail de $f$. L'une des motivations possibles pour effectuer un changement d'ordre de l'intégrale est que la forme de$f$ est plus facile à intégrer dans un certain ordre.

Remarque: selon votre communauté, certains l'écrivent comme

$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$