Changer le sens de l'intégration
J'ai besoin de changer la direction de l'intégrale:
$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$
D'après ce que je sais, je dois d'abord trouver les formes:
$0.5y^2 = x$ et $\sqrt{3-y^2} =x$
La forme I est une parabole: $y^2 = 2x$
La forme II est un cercle $x^2 + y^2 = 3$ (rayon de $\sqrt{3}$)
Donc, nous dessinons essentiellement des flèches horizontales de la parabole au cercle tout en gardant $0 \leq y \leq 1$.
Quelque chose qui ressemble beaucoup à cette image:
Nous devons dessiner des lignes verticales, cela ressemble à ceci, mais nous avons 3 zones:
- Où nous avons frappé la parabole (rouge)
- Où nous avons frappé la ligne $y=1$ (vert)
- Où nous avons frappé le cercle (bleu)
Et donc ma réponse finale est:
$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$
Ai-je raison pour autant? Si je ne le suis pas, comment puis-je résoudre ce problème? Je me sens coincé car je n'ai aucune idée de comment continuer ... J'apprécierais votre aide! Merci!
Réponses
Ce que vous avez fait est correct. Vous avez terminé.
Vérification de votre fonctionnement, $y=1$ couper $0.5y^2=x$ à $x=0.5$. (cela correspond à la région orange.$0.5y^2=x$ est équivalent à $y=\sqrt{2x}$ quand $y>0$.
Également, $y=1$ couper $\sqrt{3-y^2}=x$ à $x=\sqrt2$. $\sqrt{3-y^2}=x$ est équivalent à $y=\sqrt{3-x^2}$ quand $y>0$.
La limite inférieure est toujours $y=0$.
Vous pouvez également l'exprimer de manière compacte comme
$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$
L'évaluation ultérieure dépend du détail de $f$. L'une des motivations possibles pour effectuer un changement d'ordre de l'intégrale est que la forme de$f$ est plus facile à intégrer dans un certain ordre.
Remarque: selon votre communauté, certains l'écrivent comme
$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$