Cinétique d'une désintégration radioactive parallèle simultanée

Question

Question:

Un isotope radioactif, A subit une désintégration simultanée en différents noyaux comme: \ begin {array} {cc} \ ce {A-> P} & \, (t_ {1/2} = 9 \ \ mathrm h) \\ \ ce {A-> Q} & \, (t_ {1/2} = 4,5 \ \ mathrm h) \ end {tableau}

En supposant qu'au départ ni P ni Q n'étaient présents, après combien d'heures, la quantité de Q sera juste le double de la quantité de A restante?

Ma résolution:

J'ai le $t_{1/2}$ pour $A$ comme $T=\dfrac{T_1T_2}{T_1+T_2}\ =\pu{ 3 h}$

Maintenant, d' après la loi de Rutherford-soddy, le nombre d'atomes restant après$n$ les demi-vies sont,

$$N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^n$$

et nombre de demi-vies $n=\dfrac{\text{Total time of Decay}}{\text{effective half life}}$

Pour l'isotope $A$, $\dfrac{N_A}{N_{0_A}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/3}$ où $T$ est le moment commun de décomposition pour $\mathrm A$ et $\mathrm Q$

Pour $\mathrm Q$ Je devais supposer que $\mathrm Q$ subit également une désintégration radioactive pour former une relation entre $\mathrm A$ et $\mathrm Q$

Maintenant en utilisant la même formule que ci-dessus $\dfrac{N_\mathrm Q}{N_{0_\mathrm Q}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/4.5}=\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T/9}$

Appliquant maintenant la condition de la question, $$\left (\frac{1}{2}\right)^{2T/9}=2\cdot \left (\dfrac{1}{2}\right)^{T/3} $$

Élever par le pouvoir $9$ des deux côtés,

$$\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T}=2^9\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{3T}$$

ce qui implique,

$$ 2^{-2T}=2^{9-3T}$$

Par conséquent,

$$9-3T=-2T$$ $$ {\bbox[10px, border:2px solid red]{ T=9\ \mathrm h. }} $$

Bien que j'aie une réponse et qu'elle remplisse la condition, je pense toujours que c'est faux à cause de l'hypothèse faite pour $\mathrm Q$ et quelque chose d'autre devait être fait pour établir la relation entre $\mathrm A$ et $\mathrm Q$ De plus, il est donné dans la question qu'au départ ni $\mathrm P$ ni $\mathrm Q$ était présente et je suppose que l'hypothèse enfreint cela.

Answer 1

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Réactions parallèles ou secondaires de premier ordre: Concept

$$\require{cancel}\\ \ce{A ->[k_1] B} \ \ t=0\\ \ce{A ->[k_2] C} \ \ t=t$$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt}=k_1[A] + k_2[A] $$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt} = k_\text{eff} [A] \land k_\text{eff}=k_1+k_2$$

Ordre effectif = 1

$$\left(t_{1/2}\right)_\text{eff}=\frac {\ln 2}{k_\text{eff}} $$

$$\frac 1 {(t_{1/2})_\text{eff}}=\frac {1}{(t_{1/2})_{1}} + \frac {1} {(t_{1/2})_{2}} $$

$$A_\text{eff}\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}=(A_1+A_2)\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}$$

Différenciez-vous en ce qui concerne $T$,

$${\frac{E_\mathrm a}{RT^2}}\cdot k_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1}{RT^2}+\frac{(E_\mathrm a)_2 k_2}{RT^2}$$

$$(E_\mathrm a)_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1 +(E_\mathrm a)_2 k_2}{k_\text{eff}}$$

$$[A]_\mathrm t=[A]_0\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$

$$a_t=a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\frac{\mathrm d[B]}{\mathrm dt}=k_1[A]=k_1a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\int\limits_{0}^{b_t}\mathrm d[B]=k_1 a_0 \int\limits_0^t\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}\,\mathrm dt$$

$$b_t=\frac{k_1 a_0}{-(k_1+k_2)}[\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}]_0^t$$

$$b_t=\frac{k_1 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}) $$

De même,

$$c_t=\frac{k_2 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})$$

$$\frac{[B]}{[C]}=\frac{k_1}{k_2}$$

• proportion de $B=\frac{[B]}{x}=\frac {k_1}{k_1+k_2}$ [multiplié par 100 pour le pourcentage]
• proportion de $C=\frac{[C]}{x}=\frac {k_2}{k_1+k_2}$ [multiplié par 100 pour le pourcentage]

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Le problème réel

\begin{align} &\ce{A->[\textit{k}_1]P} &k_1 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{9} \ \text{hr}^{-1} \\ &\ce{A->[\textit{k}_2]Q} &k_2 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{2 \ln2}{9}\ \text{hr}^{-1}\\ \end{align}

$$Q_t=\frac{k_2a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})=2A_t$$

$$\frac{k_2\cancel{a_0}}{k_1+k_2}\mathrm {(1-e^{-(k_1+k_2)t})}=2\cancel{a_0}\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\frac{\cancel 2}{3}(1-\mathrm e^{-k_\text{eff}t})=\cancel 2\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$

$$\mathrm e^{-k_\text{eff}t} = \frac {1} {4}$$

$$\implies k_\text{eff}t = \ln 4 = \frac {3\ln 2}{9} t$$

$$\implies t= 6\mathrm h$$

Cela donne donc la réponse à 6 h.

Answer 2

La question a déjà été résolue par Yashwini et la réponse donnée est correcte.$^2$ Une explication plus intuitive et plus spécifique de la question suivrait ici.

Maintenant, les deux réactions données sont:

\ begin {array} {cc} \ require {annuler} \ ce {A -> P} & (t_ {1/2} = 9 \, \ mathrm h) \\ \ ce {A -> Q} & (t_ {1/2} = 4,5 \, \ mathrm h) \\ \ end {tableau}

Maintenant, en utilisant la loi des taux, nous obtenons,

\begin{align} -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm P [A] \tag{1} \\ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm Q [A] \tag{2} \\ \end{align}

La constante de vitesse pour une réaction de premier ordre ayant une demi-vie de $t_{1/2}$ est défini comme:

$$k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \tag{3}$$

Maintenant, en remplaçant les valeurs données de $t_{1/2}$ dans les équations, nous obtenons $2k_\mathrm P = k_\mathrm Q$ (depuis $k\, \alpha \frac{1}{t_{1/2}})$

Maintenant, intuitivement, puisque les deux réactions ont lieu ensemble, cela signifierait que pour chaque mole de P formée, deux moles de forme Q. Par conséquent, pour chaque mole de P formée, trois moles de A réagissent (puisqu'une mole est nécessaire pour chaque mole de P et Q).

Maintenant, nous ajoutons les lois de taux ($1$) et $(2)$, puisque les réactions ont lieu simultanément, pour obtenir:

$$-\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}=(k_\mathrm P +k_\mathrm Q) [A] \tag{4} $$

Maintenant, depuis l'utilisation de la relation entre $k_\mathrm{P}$ et $k_\mathrm{Q}$, on a $k_\mathrm{P} + k_\mathrm{Q} = 3k_\mathrm{P}$

Par conséquent, en utilisant la loi de vitesse intégrée pour une réaction de premier ordre sur l'équation $(4)$, on a:

$$A=A_0e^{-3k_\mathrm Pt} $$

Maintenant, le montant de $A$ utilisé ici serait $A_0 -A$, et nous obtenons que cette valeur soit:

$$A_\text{used}=A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)$$

Or, comme nous l'avons noté précédemment, pour trois moles de A utilisées, deux moles Q sont formées. Cela signifie que la quantité de Q maintenant dans le mélange serait de deux tiers de$A_\text{used}$. Par conséquent, le montant de Q serait:

$$Q=\frac{2A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3}$$

Maintenant, on nous donne la condition, $Q = 2A$, en remplaçant les valeurs de $Q$ et $A$ dans la relation donnée, nous obtenons:

$$\begin{align} \frac{\cancel{2A_0}\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3} &= \cancel{2A_0}\left(e^{-3k_\mathrm Pt}\right) \\ \implies 1 -e^{-3k_\mathrm Pt} &= 3e^{-3k_\mathrm Pt} \\ \implies 4e^{-3k_\mathrm Pt} &= 1 \end{align}$$

Résoudre pour $t$, on a:

\begin{align} 3k_\mathrm Pt&=2\ln 2 \\ \\ t&=\frac{2\ln 2}{3k_\mathrm P}\\ \end{align}

Maintenant, en utilisant l'équation $(3)$, nous obtenons le taux constant $k_\mathrm P$ être $\frac{\ln 2}{9}$. En remplaçant cette valeur dans l'expression pour le temps, nous obtenons:

$$t=\frac{2 \cancel{\ln 2}}{\cancel{3} \frac{\cancel{\ln 2}}{\cancelto{3}{9}}}$$

Par conséquent, le temps nécessaire pour que cette condition se produise est:

$$t=2\times 3 = 6\ \mathrm h$$