Classification des fonctions holomorphes sur le demi-plan droit avec certaines conditions

Question

Le problème suivant provient d'un ancien examen préliminaire d'analyse complexe:

Déterminer toutes les fonctions analytiques $f: H \rightarrow \mathbb{C}$ sur le demi-plan $H : = \{ z\in \mathbb{C} : \Re(z) > 0 \}$ qui satisfont $f(\sqrt{n}) = n$ et $|f^{(n)}(1)| \leq 3$ pour tous les nombres entiers positifs $n$.

Clairement $f(z) = z^2$satisfait cela, et je souhaite montrer que c'est le seul exemple. Notez que$f(z) = z^2 + \epsilon \sin(\pi z^2)$ ne parvient pas à satisfaire le dérivé lié pour tout $\epsilon > 0$. De plus, la borne dérivée implique que$f$ est analytique et sous-exponentielle d'ordre 1. Je peux appliquer le théorème de Carlson pour montrer que $h(z): =f(z) - z^2$ est exactement zéro, mais cela semble être un marteau très lourd à utiliser pour un problème préliminaire.

Toute indication sur une preuve plus simple serait grandement appréciée!

Answer 1

Laisser $g(z)=f(z+1)-(z+1)^2, g(0)=0$; depuis$|g^{(n)}(0)| \le 3, n \ge 3$ on a ça $g$ défini à l'origine sur $\Re z >-1$ s'étend à une fonction entière qui satisfait $|g(z)| \le 3e^{|z|}+|z+1|^2, g(\sqrt n-1)=0, n \ge 1$.

Présumer $g$ non nul et $k \ge 1$ l'ordre du zéro de $g$ à $0$. Puis si$M_g(R)= \max_{|z|=R}|g(z)| \le 4e^R, R \ge R_0$ le nombre $N(R) \ge [R^2]$ de zéros de $g$ avec $|z|\le R$ satisfait (par le théorème de Jensen):

$\int_0^R \frac{N(t)-k}{t}dt+k \log R+\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log |g(Re^{it})|dt$

donc par des majorisations faciles en utilisant $N(t)-k \ge [t^2]-1 \ge (t/2)^2, t \ge 10$, on obtient:

$R^2/8-M \le LHS \le \log 4 + R, R \ge R_0$ pour une certaine constante $M$ qui incorpore l'intégrale sur LHS de $0$ dire $10$ et $\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|$, nous obtenons donc une contradiction pour les grands $R$