Coefficient de $x^7y^6$ dans $(xy+x+3y+3)^8$

Question

Trouvez le coefficient de $x^7y^6$ dans $(xy+x+3y+3)^8$.

Ma solution:

Facteur $(xy+x+3y+3)^8$ dans $(x+3)^8(y+1)^8$. Pour obtenir un$x^7y^6$ terme, nous devons trouver le coefficient de $x^7$ dans le premier facteur et $y^6$dans le deuxième facteur. En utilisant le théorème binomial, nous obtenons le coefficient de$x^7$ être $17496$ et $y^6$ être $28$. Multiplier les deux nous donne une réponse de$489888.$

Cependant, c'est faux. Voici l'approche du corrigé:

$x^7y^6 = (xy)^6 \cdot x = (xy)^5 \cdot x^2 \cdot y$. Maintenant,$(xy)^6\cdot x$ peut être formé en choisissant $6$ $xy$de, $1$ $x$, et $1$ $3$, ce qui peut être fait en $\binom{8}{6}\binom{3}{2}\binom{1}{1} = 56$ façons. $(xy)^5\cdot x^2\cdot y$ peut être formé en choisissant $5$ $xy$de, $2$ $x$'le sable $1$ $3y$, ce qui peut être fait en $\binom{8}{5}\binom{3}{2}\binom{1}{1} = 168$façons. Ainsi, le coefficient final est$3(56+168) = 672$ façons.

Je comprends parfaitement leur approche, mais je ne comprends pas pourquoi la mienne ne fonctionne pas. Ne calculons-nous pas simplement le nombre de façons d'obtenir$x^7$, et $y^6$, puis multipliez-les?

Chose intéressante, j'ai remarqué que lorsque vous calculez le coefficient de $x^1$ (lequel est $x^{8-7}$) et $y^2$ (lequel est $y^{8-6}$), vous obtenez $3\cdot \binom{8}{1} \cdot \binom{8}{2} = 672$, qui est la réponse. je suis$99\%$ Bien sûr, ce n'est pas une coïncidence, mais pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle et pas l'autre?

Je sais que je ne me suis pas trompé de calculs, car j'ai tout vérifié avec WolframAlpha; l'erreur doit être dans mon processus.

Merci d'avance!

(Question de PuMaC 2017 Algèbre B)

Answer 1

Le facteur pour $x^7$ est $24$ et pour $y^6$ est $28$, dont leur multiplication est la bonne réponse. Vous appliquez probablement de manière incorrecte le théorème binomial.

En tant que module complémentaire, votre méthode est tout à fait correcte.