Comment calculer le produit de cupule des limites dérivées / cohomologie pré-feuilles

Jan 11 2021

J'ai une catégorie finie $\mathcal{C}$, avec un foncteur $F \colon \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{GradedCommRings}$. Si$F_j$ est $j$-pièce classée de $F$, alors j'écris $H^i(\mathcal{C},F_j)$ pour le $i$-ème limite inverse dérivée du diagramme $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$des groupes abéliens. De manière équivalente, c'est le$i$- cohomologie de la gerbe de la gerbe $F_j$, où je considère $\mathcal{C}$ comme site avec une topologie Grothendieck triviale.

J'ai calculé les divers $H^i(\mathcal{C},F_j)$. En les assemblant, il devrait y avoir une structure de produit de tasse$H^i(\mathcal{C},F_j) \otimes H^{i'}(\mathcal{C},F_{j'}) \to H^{i+i'}(\mathcal{C},F_{j + j'})$. Je voudrais calculer cette structure de produit.

La seule méthode que je connaisse est la cohomologie des faisceaux, impliquant des résolutions explicites, des produits tensoriels et des complexes totaux (voir [1]). Malheureusement, je n'ai pas de résolution explicite de$F$ ou alors $F \otimes F$: cela semble trop compliqué à faire à la main, surtout parce que $F(c)$sont généralement générés à l'infini. (Dans mon calcul de$H^i(\mathcal{C},F_j)$ J'ai contourné cela en utilisant des séquences spectrales mais celles-ci obscurcissent la structure du produit.)

Je suis amené aux questions suivantes:

  • Est-ce que quelqu'un connaît une méthode plus efficace pour calculer les produits de tasse de cohomologie pré-feuilles / limites dérivées?
  • Sinon, existe-t-il un logiciel informatique capable de prendre en charge certaines des tâches décrites ci-dessus?

[1]: RD Swan. Produits de coupe en cohomologie de gerbe, injectifs purs et substitut aux résolutions projectives.

Réponses

1 DmitriPavlov Jan 12 2021 at 02:06

Les produits de coupe dans la cohomologie des faisceaux (et des pré-feuilles) sont souvent faciles à calculer en résolvant la source (dans la structure du modèle projectif, par exemple), pas la cible. Pour un exemple de résolution de la source de cette manière, voir Le produit de couplage, hypercohomologie et cupule Yoneda

Dans le cas considéré, on peut équiper la catégorie des pré-poussées de chaînes complexes sur C d'une structure modèle projective. Ce dernier a un foncteur de remplacement de cofibrant explicite, qui peut être utilisé pour écrire une résolution projective explicite. Le foncteur de remplacement de cofibrant est précisément la construction de barre classique appliquée à l'adjonction entre les pré-faisceaux de complexes de chaînes sur des complexes de chaînes indexées C et Ob (C).