Comment calculer les longueurs d'arc d'un grand cercle incliné avec l'équateur à $\phi°$ divisé en $12$ arcs par longitudes $30°$ une part?

Question

Un grand cercle se trouve à $\phi°$inclinaison vers l'équateur. Longitudes$30°$ séparés sont dessinés qui divise l'équateur en $12$ arcs égaux de taille (rayon de la terre$*30$). Les arcs correspondants sur le grand cercle incliné auront des longueurs variables. Comment calculer leurs angles sous-tendus pour tous$12$ des arcs?

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Ce que j'ai réussi à comprendre:

1. Voici le diagramme: Description du problème

2. $\phi =$ latitudes du point le plus bas et le plus haut du grand cercle (en ignorant les signes, c.-à-d. $+/-$).

3. Longueur d'arc pour les deux cercles pour $90°$ l'angle sous-tendu est égal au quart de la circonférence.

4. J'ai essayé de résoudre avec la règle de Haversine et la règle du sinus pour la trigonométrie sphérique , mais une fois programmée, la somme de$12$ les arcs ne correspondent pas à la circonférence de la terre.

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Motivation:

Les angles sous-tendus des arcs varieront avec la latitude et la longitude. Ce calcul est crucial pour un logiciel d'astrologie que j'essaie de créer. Merci d'avance pour votre aide!

Answer 1

Il peut être préférable de calculer les longueurs d'arc cumulées.

Laisser $A$ être un point où l'arc atteint l'équateur et $B$ être n'importe quel point d'où vous vous déplacez $A$. Car$A$ peut être l'un des deux points, on peut supposer sans perte de généralité que $B$ est déplacé par $\le 180°$ longitude de$A$. Appelez ainsi le déplacement de longitude$\theta$.

Dessiner $\triangle ABP$ où $P$est l'un ou l'autre des pôles. ensuite$\angle P$ les mesures $\theta$, arc $AP$ mesure 90 °, et $\angle A$ les mesures $90°-\phi$.

En résolvant des triangles, je préfère généralement travailler avec des cosinus plutôt que des sinus. La fonction cosinus est monotone et donne un inverse sans ambiguïté depuis$0°$ à $180°$, alors que la fonction sinus double sur elle-même lorsque l'argument passe $90°$. Alors regardez les lois du cosinus. Lorsque vous avez deux angles et le côté inclus comme ici, la deuxième loi des cosinus fonctionne mieux. Pour ce triangle, la loi donne ce qui suit pour le troisième angle$\angle B$:

$\cos \angle B = -\cos \angle A\cos \angle P+\sin \angle A\sin \angle P\cos AP$

Ici, le deuxième terme à droite se met à zéro comme $AP$ les mesures $90°$. Brancher les angles connus ci-dessus rend alors

$\cos \angle B = -\sin \phi\cos \theta$

Nous appliquons ensuite la même loi une fois de plus, cette fois avec $\angle P$ sur le côté gauche:

$\cos \angle P = -\cos \angle A\cos \angle B+\sin \angle A\sin \angle B\cos AB$

Brancher des valeurs connues et utiliser le fait que $\sin u =+\sqrt{1-\cos^2 u}$ pour $0\le u\le 180°$, on a

$\cos \theta = \sin^2 \phi\cos\theta+(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

$\cos^2 \phi\cos\theta=(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

et cette formule pour la longueur de l'arc $AB$:

$\color{blue}{\cos AB = \dfrac{\cos \phi\cos \theta}{\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta}}} (0°\le\theta\le 180°)$