Comment prouver cet énoncé en théorie des ensembles ?
J'ai besoin de prouver que$((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)) \iff (C \subset A)$
Tout en prouvant, j'essayais d'utiliser des distributions et de croiser les deux côtés de l'ensemble d'équations de gauche$\bar{B}$. Cela fonctionne pour$\Rightarrow$, mais pas sûr pour$\Leftarrow$
Ce serait bien d'avoir au moins 1 indice si je me trompe. Merci en conseil
Réponses
Présumer$((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C))$tient et laisse$x \in C$. Alors$x \in (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)$Donc$x\in A$.
Si$C \subset A$, alors$A\cap C=C$alors$$ A \cap (B \cup C)= (A \cap B) \cup (A \cap C) = (A \cap B) \cup C = $$
„$\Rightarrow$”$((A\cap B)\cup C)=(A\cup C)\cap (B\cup C)$ $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C$. Par conséquent$A\cup C=A$, et on obtient que C est dans A. „$\Leftarrow$”. Si$C$est dans$A$, alors$((A\cap B)\cup C)=(A\cup C)\cap (B\cup C)=A\cap(B\cup C)$, et tout est fait.
$ \Leftarrow $est encore plus simple. Montrez que si$ x \in LHS $alors$ x \in RHS $et vice versa. Utilisant le fait que$ C \subset A $, il n'y a pas beaucoup de cas à considérer.