Compacité relative dans les espaces topologiques (demande de référence)
Motivation et contexte: pour un sous-ensemble$S$ d'un espace métrique $(M,d)$, voici deux résultats de compacité très classiques en analyse:
1a) L'ensemble$S$ est compact si et seulement si chaque séquence de $S$ a une sous-séquence qui converge vers un point dans $S$.
1b) L'ensemble$S$ est relativement compact (c.-à-d. a une fermeture compacte) dans $M$ si et seulement si chaque séquence de $S$ a une sous-séquence qui converge vers un point dans $M$.
Considérons maintenant les revendications analogues suivantes pour un sous-ensemble $S$ d'un espace topologique $X$:
2a) L'ensemble$S$ est compact si et seulement si chaque filet dans $S$ a un sous-réseau qui converge vers un point dans $S$.
2b) L'ensemble$S$ est relativement compact dans $X$ si et seulement si chaque filet dans $S$ a un sous-réseau qui converge vers un point dans $X$.
L'assertion 2a) est également un résultat classique dans la topologie d'ensemble de points. D'autre part, l'implication "$\Leftarrow$"en 2b) ne tient pas , en général.
Plus précisément, ce qui suit est valable:
(i) Si$X$ n'est pas Hausdorff, il se peut que $S$est compact mais non fermé et possède également une fermeture non compacte. Cela montre que 2b) échoue, en général.
(ii) Un peu plus intéressant, 2b) peut également échouer dans les espaces de Hausdorff. En effet, un contre-exemple peut être construit si l'on choisit$S$être un demi-disque ouvert avec un point supplémentaire, dans la topologie du demi-disque sur le demi-plan supérieur; cette topologie est, par exemple, décrite dans l'exemple 78 de Steen et Seebach " Counterexamples in Topology (1978)". (Il n'est pas indiqué explicitement ici que cet espace donne un contre-exemple pour 2b), mais ce n'est pas difficile à voir.)
(iii) Si$X$ est Hausdorff et la topologie sur $X$est induite par une structure uniforme (de manière équivalente, si$X$est tout à fait régulier ), alors 2b) tient effectivement.
L'assertion (iii) n'est pas extrêmement difficile à montrer, mais elle n'est pas non plus complètement évidente. De plus, (iii) est parfois très utile en théorie des opérateurs. Donc, pour des raisons de citation, la question suivante se pose:
Question (demande de référence): Connaissez-vous une référence où (iii) est explicitement indiqué et prouvé?
Question connexe: Cette question est vaguement liée.
Réponses
Voir le Handbook of Analysis and its Foundations , par Eric Schechter (section 17.15).
Je suppose que même $T_3$est déjà suffisant. Je n'ai pas accès à la monographie Fletcher, Peter et Lindgren, William F., Quasi-uniform spaces, M. Dekker, New York, Bâle 1982, pour le moment, mais celle-ci contient pas mal de résultats sur l'achèvement et la quasi-compacité. Peut-être qu'il contient également des résultats sur la relation avec la compacité relative.