Comprendre la preuve de «l'intersection non vide d'ensembles fermés avec FIP» implique la compacité

Dec 11 2020

J'essayais de comprendre la preuve du théorème suivant:

"Un espace X est compact si et seulement si chaque collection de sous-ensembles fermés de X satisfaisant la propriété d'intersection finie a une intersection non vide."

Les preuves standard de ce théorème que je vois sont les mêmes que celles couvertes dans la question ci-dessous:

La propriété d'intersection finie implique la compacité?

Comme dans la question ci-dessus, je pourrais comprendre la preuve de compacité impliquant une intersection non vide de collection d'ensembles fermés ayant une propriété d'intersection finie, mais je ne suis pas clair sur la preuve de l'autre direction.

Pour en venir à la deuxième preuve fournie dans la première réponse ci-dessus qui va comme suit:

Supposons que K possède la propriété d'intersection finie. Pour prouver que K est compact, soit {Ui} i∈I une collection d'ensembles ouverts qui couvrent K. Nous affirmons que cette collection contient une sous-collection finie d'ensembles qui couvrent aussi K.

Supposer que $K \neq\bigcup_{j \in J} U_j$$J\subset I$est fini. Prendre des compliments donne$K^c \neq \bigcap U_j^c$, qui par hypothèse est non vide - puisque $U_i$ est ouvert, $U_i^c$est fermé. Puisque$K$ a le fip on a donc que

$ \emptyset \neq \bigcap_{i \in I} U_i^c = \left( \bigcup_{i \in I} U_i \right)^c$. Cela contredit$U_i$ être une couverture ouverte pour $K$.

Ici, je suis incapable de voir la signification de la partie de cette preuve avec l'ensemble fini $ J $ qui est contenu dans $ I $. N'aurions-nous pas pu commencer directement par la partie suivante?

$ \emptyset \neq \bigcap_{i \in I} U_i^c = \left( \bigcup_{i \in I} U_i \right)^c$

Plus important encore, nous avons obtenu une contradiction avec {Ui} i∈I étant une couverture ouverte de l'ensemble en question. Je ne vois pas comment cela mène à la compacité? Comment exige-t-il l'existence d'une sous-couverture ouverte pour toutes ces couvertures ouvertes de cet ensemble?

J'ai vu une preuve similaire dans le blog suivant:

https://dantopology.wordpress.com/2009/11/30/the-finite-intersection-property-in-compact-spaces-and-countably-compact-spaces/

mais ici aussi je ne pouvais pas voir comment la contradiction conduit à l'existence d'une sous-couverture.

Réponses

1 BrianM.Scott Dec 11 2020 at 03:05

Une famille d'ensembles avec la propriété d'intersection finie est dite centrée ; par commodité, j'utiliserai ce terme.

La preuve de Dan Ma n'est pas par contradiction. Il veut prouver que si chaque famille centrée de fermés$X$ a une intersection non vide, alors $X$est compact. Pour ce faire, il prouve le contrapositif : si$X$ n'est pas compact, alors $X$a une famille centrée d'ensembles fermés dont l'intersection est vide. Ceci est logiquement équivalent à l'implication souhaitée.

L'argument lui-même est simple. Supposer que$X$n'est pas compact; puis il a un couvercle ouvert$\mathscr{U}$sans sous-couverture finie. Pour chaque$U\in\mathscr{U}$ laisser $F_U=X\setminus U$, et laissez $\mathscr{F}=\{F_U:U\in\mathscr{U}\}$; clairement$\mathscr{F}$est une famille d'ensembles fermés. Laisser$\mathscr{F}_0$ être un sous-ensemble fini de $\mathscr{F}$. Il y a un fini$\mathscr{U}_0\subseteq\mathscr{U}$ tel que $\mathscr{F}_0=\{F_U:U\in\mathscr{U}_0\}$. ensuite

$$\bigcap\mathscr{F}_0=\bigcap_{U\in\mathscr{U}_0}F_U=\bigcap_{U\in\mathscr{U}_0}(X\setminus U)=X\setminus\bigcup\mathscr{U}_0\,.$$

$\mathscr{U}$ n'a pas de sous-couverture finie, donc $\bigcup\mathscr{U}_0\ne X$, et donc

$$\bigcap\mathscr{F}_0=X\setminus\bigcup\mathscr{U}_0\ne\varnothing\,.$$

Donc, $\mathscr{F}$ est centré: tout sous-ensemble fini de $\mathscr{F}$a une intersection non vide. Mais

$$\bigcap\mathscr{F}=\bigcap_{U\in\mathscr{U}}(X\setminus U)=X\setminus\bigcup\mathscr{U}=\varnothing\,,$$

puisque $\mathscr{U}$ est une reprise de $X$, donc $\mathscr{F}$ est une famille centrée d'ensembles fermés dans $X$ dont l'intersection est vide.

La preuve que vous avez copié dans votre question utilise essentiellement la même idée , mais ne l' organiser comme une preuve par contradiction. Je vais essayer de le présenter un peu plus clairement. Nous commençons par une couverture ouverte arbitraire$\mathscr{U}=\{U_i:i\in I\}$ d'un espace compact $K$, et nous supposons, pour obtenir une contradiction, qu'elle n'a pas de sous-couverture finie. Puis pour chaque fini$J\subseteq I$ nous savons que $\bigcup_{j\in J}U_j\ne K$. Maintenant pour chacun$i\in I$ laisser $F_i=K\setminus U_i$; puis$\mathscr{F}=\{F_i:i\in I\}$ est une famille d'ensembles fermés $K$, et pour chaque fini $J\subseteq I$ nous avons

$$\bigcap_{j\in J}F_j=\bigcap_{j\in J}(K\setminus U_j)=K\setminus\bigcup_{j\in J}U_j\ne\varnothing\,,$$

donc $\mathscr{F}$est centré. Nous supposons que chaque famille centrée d'ensembles fermés dans$K$ a une intersection non vide, nous concluons donc que $\bigcap\mathscr{F}=\bigcap_{i\in I}F_i\ne\varnothing$. Mais alors

$$\bigcup\mathscr{U}=\bigcup_{i\in I}U_i=\bigcup_{i\in I}(K\setminus F_i)=K\setminus\bigcap_{i\in I}F_i\ne K\,,$$

contredisant le fait que $\mathscr{U}$ est une reprise de $K$. Cette contradiction montre qu'il doit en fait y avoir un fini$J\subseteq I$ tel que $\bigcup\{U_j:j\in J\}=K$, c'est-à-dire de telle sorte que $\{U_j:j\in J\}$ est une sous-couverture finie.