Concepts d'options de démarrage en avant

Dec 14 2020

Considérer $t_0<t<T$, avec $t_0=0$ (date d'aujourd'hui) et le paiement standard d'une option d'achat de départ à terme vanille,

$F_{t,T} = (S_T - S_t\cdot K)^+$, avec grève $K$.

Si le prix de cette option est coté aujourd'hui à $t_0$, alors nous pouvons déduire une sorte de volatilité implicite Black-Scholes $\sigma_{imp}(t_0, K, t, T)$ pour lequel le prix BS correspondant correspond au prix du marché (à $t_0$).

Maintenant, dénotons la volatilité implicite BS au moment $t$ d'une option d'achat avec le gain ci-dessus par $\hat{\sigma}(t,T,K,S_t)$. De toute évidence, du point de vue de$t_0$ ceci est inconnu car les cotations du marché pour la date $t$ n'existent pas encore.

Ma question est de savoir comment $\sigma_{imp}(t_0, K, t, T)$ se rapportent à l'inconnu $\hat{\sigma}_{imp}(t,T,K,S_t(\omega)$? Le premier est-il juste un proxy du second?

Je suis conscient que la réponse peut être évidente mais j'essaie de me convaincre et de mieux comprendre les concepts de la bibliographie. Toute référence / article facile à lire qui clarifie tout ce qui précède est apprécié.

Réponses

2 StackG Dec 14 2020 at 17:01

Les options de démarrage anticipé sont des titres très intéressants, vous pouvez en trouver beaucoup sur Internet. Il s'avère qu'il existe une formule de tarification explicite pour eux à Black-Scholes, la plus belle dérivation que je puisse trouver est donnée dans cet article - la formule de tarification est donnée par:

Quant à la volatilité implicite à terme, il s'avère qu'il existe plusieurs façons de la définir. En BS simple, la volatilité est déterministe à tout moment, donc le vol implicite avant sera juste le même que le vol implicite maintenant. Cependant, les choses deviennent plus intéressantes dans les modèles de vol local (qui peuvent être considérés comme une généralisation de BS), auquel cas les modèles de vol déterministes et les modèles de vol stochastique donnent des surfaces de vol direct TRÈS différentes - j'ai écrit un peu à ce sujet (avec des graphiques et code) dans une autre réponse .

Au cas où cela serait intéressant, il s'avère que même dans le modèle vol stochastique de Heston, nous pouvons trouver une formule semi-analytique pour ces options, par exemple celle donnée ici ...

Si vous souhaitez expérimenter par vous-même, le cas Local Vol et le cas Heston ont des moteurs de tarification analytiques (et aussi Monte-Carlo) disponibles via QuantLib.