Conditions de convergence pour un schéma itératif

Question

Laisser$A$être une matrice singulière et symétrique, avec$\lambda_1=0$et$\lambda_i >0$pour$i=2,\ldots,n$.

Considérez l'itération

$$x^{*} = b- (A-I)x_k$$ $$x_{k+1} = \alpha x^{*} +(1- \alpha)x_k$$

Dans quelles conditions sur$x_0$,$\alpha$et$b$, converge-t-elle vers la vraie solution de$Ax =b$?

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Je ne peux vraiment pas bouger. j'ai essayé de calculer$e_{k+1}$mais je n'ai trouvé aucune relation utile. De plus, je ne sais pas comment trouver des contraintes sur$x_0$.

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ÉDITER

J'ai essayé de suivre les commentaires de @uranix et j'ai trouvé:$$e_{k+1} = \alpha b + (I - \alpha A) x_k -x $$

que je réécris (en utilisant la cohérence) comme$$e_{k+1} = (I-\alpha A)(x_k -x)=(I- \alpha A)e_{k}$$

Par conséquent$$e_{k+1} = (I-\alpha A)^k e_0$$

Maintenant, j'exigerais que le rayon spectral soit inférieur à$1$, mais depuis$$\lambda(I -\alpha A)= 1-\lambda(A)$$J'ai que la première valeur propre est$1-\alpha \lambda_1=1-\alpha \cdot 0 = 1$

Donc je ne peux rien dire sur la convergence... il doit y avoir un autre moyen. En effet, je n'ai pas utilisé la symétrie et aussi aucune condition sur$x_0$, comme écrit dans le texte

Answer 1

Un petit indice.

Comme je l'ai dit dans les commentaires, considérez la base des valeurs propres. Les vecteurs de base sont orthogonaux et peuvent être mis à l'échelle pour former une base orthonormée :$$ A \phi_m = \lambda_m \phi_m, \quad m = 1, \dots, m\\ (\phi_m, \phi_{m'}) = \delta_{mm'}. $$

Extension des vecteurs d'erreur sur la base$e_k = \sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$permet de réécrire la condition de convergence en utilisant des coefficients d'expansion. Utiliser l'identité de Parseval$$ \|e_k\|_2^2 = \sum_{m} c_{k,m}^2 $$on obtient que$e_k \to 0$n'arrive que si pour tout$m$chaque coefficient converge vers zéro, c'est-à-dire$$ \lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0, \quad m = 1,\dots,n. $$

Agir avec$(I - \alpha A)^k$sur$e_0$agit sur chaque valeur propre séparément :$$ e_k = (I - \alpha A)^k e_0 = (I - \alpha A)^k \sum_{m=1}^n c_{0,m} \phi_m = \\ = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (I - \alpha A)^k \phi_m = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (1 - \alpha \lambda_m)^k \phi_m. $$

Comparer le côté droit avec$\sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$on obtient immédiatement la relation$$ c_{k,m} = (1 - \alpha \lambda_m)^k c_{0,m}. $$

A vous maintenant de trouver les conditions dans lesquelles$\lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0$pour chaque$m = 1,\dots,n$.