Conditions nécessaires (et suffisantes) pour que le produit matriciel suivant soit symétrique défini positif?

Question

Corrigez certains $n\times n$ matrice définie positive symétrique $A$. Considérez le produit matriciel suivant,

$$B = AC$$

où $C$ est un arbitraire $n\times n$matrice. Donné$A$, Je voudrais savoir s'il existe des conditions nécessaires et suffisantes connues sur toutes les matrices carrées $C$ de telle sorte que la matrice résultante $B$est également défini positif symétrique? Je suis plus intéressé à connaître (si possible) les conditions nécessaires.

Éditer:

Je ne suis concerné que par de vraies matrices.

Answer 1

Si $C$ est une matrice réelle définie positive qui commute avec $A$ puis $AC = C^{1/2}AC^{1/2}$qui est défini positivement. C'est donc certainement une condition suffisante.

Cependant, c'est loin d'être nécessaire. Considérez cela$$ \left[\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 4 \\ 4 & 8\end{matrix}\right]. $$

Je ne suis pas convaincu qu'il y aura une belle condition qui décrit complètement une telle $C$.

Une condition nécessaire est que $$ AC = (AC)^T = C^TA \ \ \ \ \textrm{or} \ \ \ ACA^{-1} = C^T $$ Si en plus $C$ est symétrique alors il commute avec $A$ et alors $A^{1/2}CA^{1/2} = AC > 0$ ce qui implique que $C$ est défini positif puisque $A^{-1}$ est également positif.

Pas de réponse complète, mais c'est tout ce que j'ai pour le moment.