Confusion de notation concernant l'exercice du manuel ("Géométrie différentielle" par Loring Tu)

Question

Remarque : Veuillez ne pas résoudre l'exercice pour moi, j'aimerais beaucoup le faire moi-même.
Ce qui suit est l'exercice 27.5 de la "Géométrie différentielle" de Loring Tu.

Laisser$\phi_\alpha:\pi^{-1}U_\alpha\to U_\alpha\times G$donné par$\phi_\alpha(p)=(\pi(p),g_\alpha(p))$être une banalisation de$\pi^{-1}U_{g\color{red}{a}}$dans un faisceau principal$P$. Laisser$A\in\mathfrak{g}$et$\bar{A}$le champ vectoriel fondamental sur$P$qu'il induit. Prouve-le$dg_\alpha(\bar{A}_p)=dl_{g_\alpha(p)}(A)$.

J'ai plusieurs questions sur cet exercice. Premièrement, le$a$en rouge est probablement une faute de frappe, car$a$n'est mentionné nulle part ailleurs. Je suppose que cela devrait être$\alpha$, mais alors quel est le$g$Faire là? Ma deuxième question porte sur le différentiel lui-même. Il n'est pas clair pour moi d'où va cette cartographie. Je pense que l'espace cible est$T_{g_\alpha(p)}G$, mais d'où vient-il?

Answer 1

Cette solution de wiki communautaire est destinée à effacer la question de la file d'attente sans réponse.

Question 1 : C'est$\pi^{-1}U_\alpha$. Voir le commentaire de Ted Shifrin.

Question 2 : Vous avez$\phi_\alpha:\pi^{-1}U_\alpha\to U_\alpha\times G$donné par$\phi_\alpha(p)=(\pi(p),g_\alpha(p))$. Ainsi$g_\alpha : \pi^{-1}U_\alpha\to G$et$d_pg_\alpha : T_p \pi^{-1}U_\alpha \to T_{g_\alpha(p)}G$. Voir le commentaire d'A. Bellmunt.