Contreventement d'un polygone sans triangles
Le graphique de Laman suivant accolade un carré sans triangles. En d'autres termes, il s'agit d'un graphe rigide unité-distance sans 3 cycles. Cela semble être le plus petit exemple de polygone contreventé sans triangle . Cela se trouve être un sous-graphique du graphique de cube des bâtons d'unité .
Quels autres polygones réguliers ont des constructions rigides sans triangle?
Réponses
Tout cadre rigide, donc tous les polygones réguliers, peut être converti en un équivalent sans triangle. En chaînant simplement des copies du$12$-vertex sans triangle carré contreventé montré dans la question (que j'ai découvert) le long des deux arêtes colinéaires donne un segment de ligne rigide de longueur entière arbitraire sans triangles:
Ensuite, n'importe quelle grille triangulaire peut être imitée sans triangles comme suit (toutes les arêtes droites fuchsia sont faites avec la construction de chaînage graphique ci-dessus, toutes les arêtes noires sont des bâtons simples):
Par exemple, pour accolade l'hexagone sans triangles:
Cependant, le contreventement hexagonal ci-dessus est assez grand. Une autre approche du contreventement sans triangle est l' arête virtuelle : dans toute incorporation du graphe cubique avec une arête supprimée, la distance entre les deux degrés$2$ les sommets (incidents avec l'arête manquante) doivent toujours être $1$. Cela conduit à l'hexagone régulier rigide sans triangle suivant dans$16$ sommets et $29$bords ( preuve de validation de Shibuya ):
Les deux versions présentées ci-dessus sont isomorphes en théorie des graphes; leurs coordonnées ont les mêmes polynômes minimaux. En particulier, en utilisant le paramétrage à Shibuya, le$x$-coordonnée du sommet $7$ satisfait $$12x^2-6(\alpha+2)x+(\alpha^2+4\alpha+1)=0,\ \alpha=\sqrt[3]3$$ $$(864x^6-2592x^5+2808x^4-1296x^3+342x^2-207x+83=0)$$( Merci Hulpke de m'avoir indiqué la fonction GAP DecomPolyqui m'a permis d'obtenir le premier polynôme.) Les lignes pâles de la deuxième version montrent que le graphe rigide est lié à l'ordre-$4$ graphe hypercube.
En complément de la réponse de Parcly Taxel, ses contreventements hexagonaux sont un sous-ensemble de toute une famille 2DOF de contreventements hexagonaux. Voici deux membres particulièrement symétriques de cette famille. (Les lignes pointillées indiquent les séparations d'unités qui ne sont pas incluses comme arêtes.)
