Dans le contexte de la DFT, où appartient l'échantillon de fréquences de Nyquist dans un spectre de fréquences double face (côté positif / négatif)?

Question

Si nous avons un nombre pair de points de données $N$, après DFT dans MATLAB, la sortie a l'ordre:

$$(\text{DC}, f_1, f_2, \ldots, f_{N/2-1}, f_\text{Nyq}, -f_{N/2-1}, -f_{N/2-2}, \ldots, -f_1)$$

Pour les signaux réels, la première sortie correspondant à $k$= 0, est réel, tout comme la fréquence de Nyquist. Après cela, les nombres sont des conjugués complexes.

Si nous nous intéressons à un spectre unilatéral, la fréquence de Nyquist est indiquée du côté positif.

Cependant, lorsqu'un spectre de fréquences double face est tracé, de nombreux auteurs placent la fréquence de Nyquist du côté négatif.

Certains logiciels comme OriginPro, suivent le contraire. Existe-t-il une manière fondamentalement correcte ou s'agit-il simplement d'une convention

$$ \text { If } N \text { is even, } \quad k\quad\text { takes: }-\frac{N}{2}, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}-1 $$

Alternativement, $$ \text { If } N \text { is even, } \quad k \text { takes: } -\frac{N}{2}-1, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}$$

où $k$ est le vecteur d'indice DFT, qui est utilisé pour construire l'axe des fréquences comme

$$\text {Frequency axis}=k/ N\Delta t$$

où $\Delta t$ est l'intervalle d'échantillonnage.

Beaucoup de gens disent que ce n'est qu'une convention et les deux sont corrects. Merci.

Answer 1

C'est une convention, ils sont équivalents:

$$ \exp{\left(j2 \pi \frac{N}{2}n/N \right)} = \exp{\left(j2\pi \frac{-N}{2}n/N\right)} \\ \Rightarrow e^{j\pi n} = e^{-j \pi n} \Rightarrow \cos(\pi n) = \cos(-\pi n)=(-1)^n,\ j\sin(\pi n) = j\sin(-\pi n) = 0 $$

MATLAB et Numpy vont $[-N/2, ..., N/2-1]$, ce qui est malheureux pour les représentations analytiques (+ freqs uniquement). Notez également que sa valeur est doublée par rapport aux autres bacs (mais pas manuellement; ils sont corrélés de cette façon), donc dans un sens, c'est à la fois une fréquence négative et positive, donc l'énergie est préservée:

Vous pouvez indiquer la préférence d'une bibliothèque à l'aide de fftshift documents :

Answer 2

En supposant $x[n]$ est réel, résultant en $X[k]$étant "symétrique hermitien" ;

$$ X[N-k] = (X[k])^* $$

et si $N$ est pair, alors la valeur dans le bac DFT $X[\tfrac{N}{2}]$(qui est une quantité réelle avec une partie imaginaire nulle) doit être divisé en deux moitiés égales. La moitié doit être placée à$k=-\tfrac{N}{2}$ et l'autre moitié placée à $k=+\tfrac{N}{2}$.

Cette réponse précédente traite de cela.